Konu anlatımı
Kalan teoremi, bölme işlemini yapmadan kalanı bulmanı sağlar. Bu alt başlıkta x − a ve ax + b biçimindeki bölenlerle kalanı, kalan ile çarpan arasındaki ilişkiyi ve kalan koşullarından bilinmeyen katsayıları bulmayı göreceksin.
Teorem ve nedeni
P(x) polinomunun x − a ile bölümünden kalan P(a) değeridir. Bölen birinci dereceden olduğu için kalan bir k sayısıdır ve P(x) = (x − a)·Q(x) + k yazılır. x = a konunca x − a çarpanı sıfır olur ve P(a) = k bulunur. Bölen ax + b ise bölenin kökü olan x = −b/a yazılır: P(x)'in 2x − 1 ile bölümünden kalan P(1/2) değeridir.
Çarpan ve sıfır
P(a) = 0 ise kalan sıfırdır ve x − a, P(x)'in bir çarpanıdır; tersine x − a bir çarpansa P(a) = 0 olur. P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısına polinomun sıfırı ya da kökü denir. P(x) = x³ − 7x + 6 için P(1) = 0 olduğundan x − 1 bir çarpandır; gerçekten P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3) olur ve polinomun sıfırları 1, 2 ve −3'tür. Çarpanlarına ayırma yöntemlerinin ayrıntısı Çarpanlara Ayırma sayfasındadır.
Koşullardan katsayı bulmak
Bilinmeyen katsayılı bir polinom için verilen her kalan ya da çarpan bilgisi bir denklem verir. İki bilinmeyen için iki bilgi gerekir. P(x) = x³ + ax² + bx + 2 polinomunda x + 1 bir çarpansa P(−1) = 0, x − 2 ile bölümden kalan 24 ise P(2) = 24 yazılır ve bu iki denklemden a ile b bulunur.
Birkaç noktada aynı değeri alan polinomlarda kısa bir yol vardır. Baş katsayısı ve derecesi bilinen P(x) için P(a) = P(b) = P(c) = k ise P(x) − k polinomu a, b ve c'de sıfır olur. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir polinomda bu, P(x) = (x − a)(x − b)(x − c) + k demektir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. P(x) = 2x³ − x² + kx − 4 polinomunun 2x − 1 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre k kaçtır?
Çözüm. Bölenin kökü x = 1/2'dir; kalan P(1/2) değeridir. P(1/2) = 2·(1/8) − 1/4 + k/2 − 4 = 1/4 − 1/4 + k/2 − 4 = k/2 − 4 bulunur. k/2 − 4 = 1 eşitliğinden k = 10 olur.
Örnek 2. P(x) = x³ + ax² + bx + 2 polinomu x + 1 ile tam bölünüyor ve x − 2 ile bölümünden kalan 24'tür. P(1) kaçtır?
Çözüm. P(−1) = −1 + a − b + 2 = 0 olduğundan a − b = −1'dir. P(2) = 8 + 4a + 2b + 2 = 24 olduğundan 4a + 2b = 14, yani 2a + b = 7'dir. İki eşitlik toplanınca 3a = 6, a = 2 ve b = 3 bulunur. P(1) = 1 + 2 + 3 + 2 = 8'dir.
Örnek 3. Baş katsayısı 2 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu için P(−1) = P(1) = P(3) = 4 olduğuna göre P(2) kaçtır?
Çözüm. P(x) − 4 polinomu −1, 1 ve 3'te sıfırdır; derecesi 3 ve baş katsayısı 2 olduğundan P(x) − 4 = 2(x + 1)(x − 1)(x − 3) yazılır. P(2) = 2·3·1·(−1) + 4 = −6 + 4 = −2 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- x + a ile bölümden kalanı P(a) sanmak; bölenin kökü −a olduğundan kalan P(−a) değeridir.
- 2x − 1 gibi bölenlerde x = 1 yazmak; bölenin kökü 1/2'dir.
- Ortak değer alan polinomda sabiti geri eklemeyi ya da baş katsayıyla çarpmayı unutmak.
- x − a ile bölümden kalan P(a), ax + b ile bölümden kalan P(−b/a) değeridir.
- P(a) = 0 ise x − a bir çarpandır; tersi de doğrudur.
- P(a) = P(b) = P(c) = k ise P(x) − k polinomu (x − a)(x − b)(x − c) ile tam bölünür.