Konu anlatımı
Değişken içeren ifadeler, değişkene verilen değere göre doğru ya da yanlış olur. Bu alt başlıkta açık önermeyi, doğruluk kümesini, “her” ve “bazı” niceleyicilerini, niceleyicili önermelerin değilini ve doğruluk kümelerinin Venn şemasıyla nasıl gösterildiğini göreceksin.
Açık önerme ve doğruluk kümesi
İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen değere göre önerme olan ifadelere açık önerme denir ve p(x) biçiminde gösterilir. p(x): x + 2 > 5 açık önermesi x = 4 için doğru, x = 1 için yanlıştır. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir. Evrensel küme {1, 2, 3, 4, 5, 6} ise bu açık önermenin doğruluk kümesi {4, 5, 6} olur.
Her ve bazı niceleyicileri
“Her” (∀) niceleyicisi açık önermenin evrensel kümedeki bütün elemanlar için doğru olduğunu, “bazı” (∃) niceleyicisi en az bir eleman için doğru olduğunu söyler. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 doğru bir önermedir. ∃x ∈ ℕ, x + 5 = 2 ise yanlıştır, çünkü bu denklemin doğal sayı çözümü yoktur. “Her” ile kurulan bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter: “Her asal sayı tektir.” önermesi 2 sayısı yüzünden yanlıştır.
Sözel önermeler sembolle, sembolik önermeler sözle ifade edilebilir. “Bazı tam sayıların karesi kendisine eşittir.” önermesi ∃x ∈ ℤ, x² = x biçiminde yazılır ve x = 0 ya da x = 1 için doğrudur.
Niceleyicili önermelerin değili
Değil alınırken niceleyici değişir ve açık önermenin değili alınır: (∀x, p(x))' ≡ ∃x, p'(x) ve (∃x, p(x))' ≡ ∀x, p'(x). “Her öğrenci sınava girdi.” önermesinin değili “Bazı öğrenciler sınava girmedi.” önermesidir; “Hiçbir öğrenci sınava girmedi.” değildir. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 önermesinin değili ∃x ∈ ℝ, x² < 0 önermesidir ve yanlıştır.
Doğruluk kümesi ve Venn şeması
p: “x ∈ A” ve q: “x ∈ B” açık önermelerinin doğruluk kümeleri A ve B'dir. Bileşik önermelerin doğruluk kümeleri küme işlemleriyle bulunur: p ∧ q için A ∩ B, p ∨ q için A ∪ B, p' için A'. p ⇒ q ≡ p' ∨ q olduğundan p ⇒ q önermesinin doğruluk kümesi A' ∪ B kümesidir. Venn şemasında yalnızca “yalnız A” bölgesi taranmaz, çünkü p ⇒ q yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. E = {1, 2, ..., 10} evrensel kümesinde p(x): “x çift sayıdır.” ve q(x): “x > 6” açık önermeleri veriliyor. p(x) ⇒ q(x) açık önermesinin doğruluk kümesi kaç elemanlıdır?
Çözüm. Koşullu önerme yalnızca hipotez doğru, hüküm yanlışken yanlıştır; yani x çift ve x ≤ 6 iken. Bu değerler 2, 4 ve 6'dır. Geri kalan 10 − 3 = 7 değerde önerme doğrudur: {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}. Doğruluk kümesi 7 elemanlıdır.
Örnek 2. p: ∀x ∈ ℤ, x² ≥ x ve q: ∃x ∈ ℕ, 2x + 1 = 6 önermelerinin doğruluk değerleri nedir? p önermesinin değilini yazınız.
Çözüm. x² − x = x(x − 1) çarpımı, x ≤ 0 iken iki çarpan da pozitif olmadığı için, x ≥ 1 iken iki çarpan da negatif olmadığı için sıfır ya da pozitiftir. Bu yüzden her tam sayı için x² ≥ x olur ve p doğrudur. 2x + 1 = 6 denkleminin çözümü x = 2,5'tir ve doğal sayı değildir; q yanlıştır. p önermesinin değili ∃x ∈ ℤ, x² < x önermesidir ve yanlıştır.
Sık yapılan hatalar
- Değil alırken niceleyiciyi değiştirmeyi unutmak: (∀x, p(x))' önermesini ∀x, p'(x) diye yazmak.
- “Her” ile kurulan bir önermeyi birkaç örnekte sağlandı diye doğru saymak; tek bir karşı örnek önermeyi yanlış yapar.
- Doğruluk kümesini bulurken evrensel kümeyi dikkate almamak.
- Açık önermeyi doğru yapan değerler doğruluk kümesini oluşturur.
- (∀x, p(x))' ≡ ∃x, p'(x) ve (∃x, p(x))' ≡ ∀x, p'(x).
- p ∧ q için A ∩ B, p ∨ q için A ∪ B, p ⇒ q için A' ∪ B taranır.