Konu anlatımı
Bir bileşik önermenin değilini almak, her parçayı olumsuzlamayı ve bağlaçları doğru biçimde değiştirmeyi gerektirir. Bu alt başlıkta De Morgan kurallarını, bu kuralların doğruluk tablosuyla gösterilmesini, uzun ifadelerde değilin dağıtılmasını ve sözel önermelerin değilini doğru kurmayı göreceksin.
De Morgan kuralları
(p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'. İlki şunu söyler: “p ve q” önermesinin yanlış olması için en az bir parçanın yanlış olması yeter. İkincisi: “p veya q” önermesinin yanlış olması için iki parçanın da yanlış olması gerekir. Değil alınırken her basit önermenin değili alınır; ∧ bağlacı ∨ bağlacına, ∨ bağlacı da ∧ bağlacına döner.
Doğruluk tablosuyla göstermek kolaydır. Satırlar p = 1, q = 1; p = 1, q = 0; p = 0, q = 1; p = 0, q = 0 sırasıyla yazıldığında (p ∧ q)' sütunu 0, 1, 1, 1 olur. p' ∨ q' sütunu da 0, 1, 1, 1 çıkar. İki sütun her satırda aynı olduğu için önermeler denktir.
Uzun ifadelerde değil
Parantezli ifadelerde değil dıştan içe doğru dağıtılır ve her adımda bağlaç değişir: ((p ∨ q') ∧ r)' ≡ (p ∨ q')' ∨ r' ≡ (p' ∧ q) ∨ r'. Burada q' önermesinin değili yine q önermesidir.
Koşullu önerme içeren ifadelerde önce p ⇒ q ≡ p' ∨ q denkliği kullanılır: (p ⇒ q)' ≡ (p' ∨ q)' ≡ p ∧ q'. Böylece “ise” bağlacının değili “ve” bağlacıyla kurulmuş olur. Bu sonucu ezberlemek yerine her seferinde iki adımda türetebilirsin.
Sözel önermelerde değil
“Ali sınavı kazandı ve Ayşe kazanmadı.” önermesinin değili “Ali sınavı kazanmadı veya Ayşe kazandı.” önermesidir. “Hava yağmurlu ise maç ertelenir.” önermesinin değili ise “Hava yağmurludur ve maç ertelenmez.” önermesidir; değil bir koşul değil, bir durum bildirir. Değil kurarken “değil” sözcüğünü cümlenin başına eklemekle yetinme; önermeyi parçalarına ayır, her parçayı olumsuzla ve bağlacı değiştir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. p ∧ (q ⇒ r') önermesinin değili şu önermelerden hangisine denktir: p' ∨ (q ∧ r), p' ∧ (q ∧ r) ya da p ∨ (q' ∧ r)?
Çözüm. De Morgan kuralıyla (p ∧ (q ⇒ r'))' ≡ p' ∨ (q ⇒ r')' yazılır. Koşullu önermenin değili hipotez ile hükmün değilinin “ve” bağlacıyla birleşimidir: (q ⇒ r')' ≡ q ∧ (r')' ≡ q ∧ r. Sonuç p' ∨ (q ∧ r) önermesidir. İkinci seçenekte bağlaç değiştirilmemiş, üçüncüde ise değiller yanlış alınmıştır.
Örnek 2. “Bu hafta kitap okurum veya film izlemem.” önermesinin değili nedir?
Çözüm. p: “Bu hafta kitap okurum.” ve q: “Bu hafta film izlerim.” dersek önerme p ∨ q' olur. De Morgan kuralıyla (p ∨ q')' ≡ p' ∧ q bulunur. Değil, “Bu hafta kitap okumam ve film izlerim.” önermesidir. “Veya” bağlacının “ve” bağlacına döndüğüne dikkat et.
Sık yapılan hatalar
- De Morgan kuralında bağlacı değiştirmeden yalnızca önermelerin değilini almak.
- (p ⇒ q)' önermesini p' ⇒ q' ya da q ⇒ p sanmak.
- Değili alınmış bir önermenin yeniden değilini alırken (q')' ≡ q sadeleştirmesini yapmamak.
- (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'.
- (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q'.
- Değil dıştan içe dağıtılır ve her adımda bağlaç değişir.