Konu anlatımı
Sayı doğrusu, rasyonel sayıların büyüklüğünü görsel olarak karşılaştırmanı sağlar. Bu alt başlıkta bir kesrin sayı doğrusundaki yerini bulmayı, iki kesir arasındaki uzaklığı hesaplamayı ve iki kesir arasına istediğin kadar kesir yerleştirebileceğini göreceksin.
Kesrin yerini bulmak
a/b pozitif basit kesrini göstermek için 0 ile 1 arasını b eş parçaya böler ve 0'dan başlayarak a parça ilerlersin. Bileşik kesirleri önce tam sayılı kesre çevirmek kolaylık sağlar: 11/4 = 2 tam 3/4 olduğundan 11/4, 2 ile 3 arasında, 2'den sonraki dört eş parçanın üçüncüsünün sonundadır. Negatif kesirler 0'ın soluna aynı yöntemle yerleştirilir.
Uzaklık, orta nokta ve eş parçalar
Sayı doğrusunda iki sayı arasındaki uzaklık, büyük olandan küçük olanın çıkarılmasıyla bulunur: 3/4 ile −1/2 arasındaki uzaklık 3/4 − (−1/2) = 5/4 birimdir. İki sayının tam ortasındaki nokta, sayıların ortalamasıdır: 1/3 ile 1/2'nin orta noktası (1/3 + 1/2)/2 = 5/12'dir.
Bir aralığı n eş parçaya bölen noktaları bulmak için uzaklığı n'ye böler ve küçük sayıdan başlayarak bu adımı eklersin. 1/3 ile 1/2 arasını üç eş parçaya bölmek için adım (1/2 − 1/3)/3 = 1/18 olur; bölme noktaları 1/3 + 1/18 = 7/18 ve 7/18 + 1/18 = 8/18 = 4/9'dur.
Rasyonel sayıların yoğunluğu
Ardışık tam sayılar arasında başka tam sayı yoktur, ama iki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı vardır; örneğin ikisinin ortalaması. Bu işlemi istediğin kadar tekrarlayabileceğin için iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı bulunur. Bu özelliğe yoğunluk denir.
Arada kesir bulmanın pratik yolu genişletmektir: 2/5 ile 3/5 arasında kesir aramak için ikisini 10 ile genişletirsin ve 20/50 ile 30/50 elde edersin. Aradaki 21/50, 22/50, ..., 29/50 kesirleri bu iki sayının arasındadır; daha büyük bir sayıyla genişletirsen daha fazla kesir bulursun.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Sayı doğrusunda −1/3 ile 5/6 arasındaki uzaklık dört eş parçaya bölünüyor. Bölme noktalarından −1/3'e en yakın olanı hangi sayıyı gösterir?
Çözüm. Uzaklık 5/6 − (−1/3) = 5/6 + 2/6 = 7/6 birimdir. Dört eş parçanın her biri 7/6 ÷ 4 = 7/24 birimdir. −1/3'e en yakın bölme noktası −1/3 + 7/24 = −8/24 + 7/24 = −1/24'tür.
Örnek 2. a bir tam sayı olmak üzere a/12 biçimindeki kaç kesir 1/4 ile 2/3 arasındadır (uç noktalar hariç)?
Çözüm. Uç noktaları 12 paydasıyla yazarız: 1/4 = 3/12 ve 2/3 = 8/12. a/12 bu iki sayı arasında olacaksa a, 3'ten büyük ve 8'den küçük bir tam sayı olmalıdır. a = 4, 5, 6, 7 olmak üzere 4 kesir vardır.
Sık yapılan hatalar
- Negatif ve pozitif iki sayı arasındaki uzaklığı bulurken negatif sayının eksi işaretini kaybetmek: 3/4 − (−1/2) yerine 3/4 − 1/2 yazmak.
- İki ardışık tam sayıda olduğu gibi iki kesir arasında da sonlu sayıda kesir olduğunu sanmak.
- Bileşik kesrin yerini bulurken tam kısmı atlamak.
- Uzaklık = büyük sayı − küçük sayı; orta nokta = sayıların ortalaması.
- İki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
- Arada kesir bulmak için iki kesri aynı paydayla genişlet.