Konu anlatımı
Kesirlerle dört işlem, rasyonel sayılar konusunun en sık kullanılan parçasıdır. Bu alt başlıkta her işlemin kuralını, kuralın neden öyle olduğunu ve uzun işlemleri kısaltan sadeleştirme tekniklerini göreceksin.
Toplama ve çıkarma
Paydaları eşit kesirler toplanırken paylar toplanır, payda aynı kalır: 2/9 + 5/9 = 7/9. Paydalar farklıysa önce paydaların EKOK'una genişletilir: 5/6 − 3/8 için EKOK(6, 8) = 24 olduğundan 20/24 − 9/24 = 11/24 olur. Payda eşitlemek gerekir, çünkü ancak aynı büyüklükteki parçalar doğrudan toplanabilir.
Tam sayılı kesirlerde tam kısımlar ve kesirli kısımlar ayrı ayrı toplanabilir: 2 tam 1/3 + 1 tam 3/4 = 3 + 13/12 = 4 tam 1/12.
Çarpma ve bölme
Çarpmada paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır: (a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d). Çarpmadan önce herhangi bir pay ile herhangi bir payda arasında sadeleştirme yapabilirsin: (14/15)·(25/28) çarpımında 14 ile 28 ve 25 ile 15 sadeleşir, sonuç (1/3)·(5/2) = 5/6 olur.
Bölmede bölünen kesir aynen yazılır, bölen kesir ters çevrilip çarpılır: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b)·(d/c). Nedeni şudur: bir sayıya bölmek, o sayının çarpmaya göre tersiyle çarpmakla aynıdır ve c/d'nin çarpmaya göre tersi d/c'dir.
İşlem önceliği ve kısaltmalar
İşlem sırası: parantez, üs, çarpma ve bölme (soldan sağa), toplama ve çıkarma (soldan sağa). 1/2 + 1/2 ÷ 1/4 işleminde önce bölme yapılır: 1/2 ÷ 1/4 = 2 ve sonuç 1/2 + 2 = 5/2 olur. Önce toplayıp sonra bölseydin yanlış olarak 4 bulurdun.
Ardışık çarpımlarda sadeleşen terimleri gör: (1 + 1/2)(1 + 1/3)(1 + 1/4) = (3/2)(4/3)(5/4) = 5/2. Ardışık toplamlarda da benzer bir kısaltma vardır: 1/(n·(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1) olduğundan 1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(9·10) toplamında ara terimler birbirini götürür ve sonuç 1 − 1/10 = 9/10 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2/3 − 1/4) ÷ (5/6 + 1/12) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Önce parantezler: 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12 ve 5/6 + 1/12 = 10/12 + 1/12 = 11/12. Sonra bölme yapılır; bölen ters çevrilip çarpılır: 5/12 · 12/11 = 5/11. Sonuç 5/11'dir.
Örnek 2. 1/(2·3) + 1/(3·4) + ... + 1/(11·12) toplamı kaçtır?
Çözüm. Her terimi fark olarak yazarız: 1/(2·3) = 1/2 − 1/3, 1/(3·4) = 1/3 − 1/4, ..., 1/(11·12) = 1/11 − 1/12. Toplarken −1/3 ile +1/3, −1/4 ile +1/4 gibi ara terimler birbirini götürür. Geriye ilk terimin 1/2'si ile son terimin −1/12'si kalır: 1/2 − 1/12 = 6/12 − 1/12 = 5/12.
Sık yapılan hatalar
- Paydaları eşitlemeden toplamak: 1/2 + 1/3 = 2/5 gibi.
- Bölmede bölünen kesri ters çevirmek; ters çevrilen bölen kesirdir.
- İşlem önceliğini unutup her işlemi soldan sağa sırayla yapmak.
- Çapraz sadeleştirmeyi toplama işleminde de yapmak; bu sadeleştirme yalnızca çarpımda geçerlidir.
- Toplama-çıkarma: payda eşitle. Çarpma: önce sadeleştir, sonra çarp. Bölme: ikinciyi ters çevir, çarp.
- İşlem önceliği: parantez, üs, çarpma-bölme, toplama-çıkarma.
- 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1).