Konu anlatımı
Bazı denklemlerde bilinmeyenin yanında değeri verilmemiş başka bir harf bulunur; bu harfe parametre denir. Parametrenin değerine göre denklemin tek kökü olabilir, hiç kökü olmayabilir ya da her gerçek sayı kök olabilir. Bu alt başlıkta bu üç durumu ayırt etmeyi ve sorudaki koşula göre parametreyi bulmayı öğreneceksin.
ax = b denkleminde üç durum
Birinci dereceden her denklem, terimler düzenlenince ax = b biçimine gelir. a ≠ 0 ise iki taraf a'ya bölünür ve tek kök bulunur. a = 0 ise denklem 0·x = b olur ve sonuç b'ye bağlıdır: 0·x = 0 her x için doğrudur, 0·x = 5 ise hiçbir x için doğru değildir.
- a ≠ 0: tek çözüm vardır, x = b/a.
- a = 0 ve b = 0: sonsuz çözüm vardır, çözüm kümesi ℝ'dir.
- a = 0 ve b ≠ 0: çözüm yoktur, çözüm kümesi ∅'dir.
Önce düzenle, sonra koşulu yaz
Koşulu yazmadan önce bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabitleri öbür tarafa toplamalısın. (m + 1)x − 4 = 3x + n denklemi düzenlenince (m − 2)x = n + 4 olur. Çözüm kümesi ℝ ise m − 2 = 0 ve n + 4 = 0, yani m = 2 ve n = −4'tür. Çözüm kümesi boş küme ise m = 2 ve n ≠ −4'tür. Tek çözüm için m ≠ 2 yeterlidir; n hangi değeri alırsa alsın tek kök vardır.
Düzenlemeden koşul yazmak en sık hatadır: bu denklemde m + 1 = 0 demek yanlıştır, çünkü sağ taraftaki 3x de x'in toplam katsayısına katılır.
x'ten bağımsız ifade ve özdeşlik
Bir ifadenin x'ten bağımsız olması, x'in alacağı değerden etkilenmemesi demektir; bunun için düzenlenmiş ifadede x'in katsayısı 0 olmalıdır. (2k − 6)x + k + 1 ifadesi x'ten bağımsızsa 2k − 6 = 0, yani k = 3'tür ve ifadenin değeri her x için 4'tür.
Her x için doğru olan eşitliğe özdeşlik denir. ax + b = cx + d eşitliğinin özdeşlik olması, yani çözüm kümesinin ℝ olması için iki taraftaki x'in katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşit olmalıdır: a = c ve b = d.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a(x − 2) = 3x + b − 1 denkleminin çözüm kümesi ℝ olduğuna göre a·b kaçtır?
Çözüm. Parantezi açıp düzenleriz: ax − 2a = 3x + b − 1, yani (a − 3)x = 2a + b − 1. Çözüm kümesi ℝ olduğu için x'in katsayısı da sağ taraf da 0'dır. a − 3 = 0'dan a = 3, sonra 6 + b − 1 = 0'dan b = −5 bulunur. a·b = 3·(−5) = −15'tir. Kontrol: iki taraf da 3x − 6 olur.
Örnek 2. (m² − 4)x = m − 2 denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Boş küme için x'in katsayısı 0, sağ taraf 0'dan farklı olmalıdır. m² − 4 = (m − 2)(m + 2) = 0'dan m = 2 ya da m = −2 bulunur. m = 2 için sağ taraf m − 2 = 0 olur ve çözüm kümesi ℝ'ye döner; bu değer istenen koşulu sağlamaz. m = −2 için denklem 0·x = −4 olur ve hiçbir x bunu sağlamaz. Cevap m = −2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Terimleri bir tarafa toplamadan koşul yazmak.
- Boş küme koşulunda sağ tarafın sıfırdan farklı olduğunu kontrol etmemek.
- Tek çözüm için sabit terime de koşul koymak; yalnızca x'in katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
- Önce denklemi ax = b biçimine getir.
- ℝ için a = 0 ve b = 0; ∅ için a = 0 ve b ≠ 0; tek çözüm için a ≠ 0.
- x'ten bağımsız ifadede x'in toplam katsayısı 0'dır.