Konu anlatımı
Kesirli bir denklemde terimlerin bazıları kesir biçimindedir; bilinmeyen payda da paydada da bulunabilir. Çözümün ana fikri paydalardan kurtulup denklemi bildiğin birinci dereceden biçime getirmektir. Bu alt başlıkta bunu güvenle yapmayı ve en sık atlanan noktayı, yani paydayı sıfır yapan değeri fark etmeyi öğreneceksin.
Paydaları OKEK ile yok etmek
Paydaların en küçük ortak katı (OKEK) bulunur ve denklemin her terimi bu sayıyla çarpılır. Böylece bütün paydalar sadeleşir. Paydası olmayan terimler de çarpılmalıdır; en sık yapılan hata bu terimleri unutmaktır. x/2 + (x − 1)/3 = x/6 + 3 denkleminde OKEK 6'dır: 3x + 2(x − 1) = x + 18. Buradan 5x − 2 = x + 18, 4x = 20 ve x = 5 bulunur.
Kesrin önündeki eksi işareti, pay bir toplam ya da fark olduğunda payın tamamına aittir. −(x − 1)/3 terimi 6 ile çarpılınca −2(x − 1) = −2x + 2 olur, −2x − 2 olmaz.
Bilinmeyen paydadaysa
Paydada bilinmeyen varsa önce paydayı sıfır yapan değerler yazılır; sıfıra bölme tanımsız olduğu için bunlar kök olamaz. 6/x − 1/2 = 1/x denkleminde x ≠ 0'dır. Her terim ortak payda 2x ile çarpılınca 12 − x = 2 ve x = 10 bulunur; bu değer yasak olmadığı için köktür.
Çarpma sonunda bulunan değer yasak değerse atılır. (x + 2)/(x − 3) = 5/(x − 3) denkleminde x ≠ 3 olmalıdır. İki taraf x − 3 ile çarpılınca x + 2 = 5 ve x = 3 bulunur. Bu değer paydayı sıfır yaptığı için kök değildir; başka aday da olmadığından çözüm kümesi boş kümedir.
Orantı biçimli denklemler
İki kesrin eşitliği biçimindeki denklemlerde içler-dışlar çarpımı kullanılır: a/b = c/d ise a·d = b·c'dir. (2x − 1)/3 = (x + 4)/2 için 2(2x − 1) = 3(x + 4), yani 4x − 2 = 3x + 12 ve x = 14 bulunur. Bilinmeyen paydadayken de aynı yol izlenir; yalnızca bulunan değerin paydayı sıfır yapmadığı kontrol edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x − 2)/4 − (2x + 1)/6 = −1 denkleminin kökü kaçtır?
Çözüm. Paydaların OKEK'i 12'dir. Her terimi 12 ile çarparız; sağdaki −1 de çarpılır: 3(x − 2) − 2(2x + 1) = −12. İkinci kesrin önündeki eksi payın tamamına ait olduğu için 3x − 6 − 4x − 2 = −12 olur. Buradan −x − 8 = −12 ve x = 4 bulunur. Kontrol: 2/4 − 9/6 = 1/2 − 3/2 = −1.
Örnek 2. 4/(x + 1) = 3/(x − 2) denklemini çözünüz.
Çözüm. Paydaları sıfır yapan değerler −1 ve 2'dir; bunlar kök olamaz. İçler-dışlar çarpımıyla 4(x − 2) = 3(x + 1), yani 4x − 8 = 3x + 3 ve x = 11 bulunur. 11 yasak değerlerden biri olmadığı için köktür. Kontrol: 4/12 = 1/3 ve 3/9 = 1/3.
Sık yapılan hatalar
- Paydası olmayan terimleri OKEK ile çarpmayı unutmak.
- Kesrin önündeki eksiyi payın yalnızca ilk terimine uygulamak.
- Paydayı sıfır yapan değeri kök olarak yazmak.
- Her terimi paydaların OKEK'i ile çarp.
- Bilinmeyen paydadaysa önce yasak değerleri yaz, sonunda bulduğun değeri onlarla karşılaştır.
- a/b = c/d ise a·d = b·c.