Konu anlatımı
x + y = 7 denklemini (1, 6), (3, 4), (−2, 9) gibi sonsuz sayıda ikili sağlar. İkinci bir denklem eklendiğinde ikisini birden sağlayan ikili çoğunlukla tektir. Ortak çözümü aranan bu denklemlere denklem sistemi denir. Bu alt başlıkta sistemi çözmenin iki temel yolunu, hangisini ne zaman seçeceğini ve çözümün grafikteki anlamını göreceksin.
Yerine koyma yöntemi
Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden biri yalnız bırakılır ve bulunan ifade öbür denklemde yerine yazılır; böylece tek bilinmeyenli bir denklem kalır. y = 2x − 1 ve 3x + 2y = 19 sisteminde y yerine 2x − 1 yazılırsa 3x + 2(2x − 1) = 19, yani 7x − 2 = 19 ve x = 3 olur. Sonra y = 2·3 − 1 = 5 bulunur; çözüm (3, 5) ikilisidir. Katsayısı 1 ya da −1 olan bir bilinmeyen varsa bu yöntem hızlıdır.
Yok etme yöntemi
Denklemler uygun sayılarla çarpılarak bilinmeyenlerden birinin katsayıları zıt sayılar yapılır, sonra denklemler taraf tarafa toplanır. 3x + 2y = 16 ve 5x − 3y = 14 sisteminde birinci denklem 3 ile, ikincisi 2 ile çarpılınca 9x + 6y = 48 ve 10x − 6y = 28 olur. Toplayınca 19x = 76 ve x = 4 bulunur; birinci denklemden 12 + 2y = 16 ve y = 2 olur.
Katsayılar eşit ve aynı işaretliyse denklemler taraf tarafa çıkarılır. Çıkarırken ikinci denklemin bütün terimlerinin, sağ taraf dahil, işareti değişir.
Sorulanı doğrudan bulmak
Her zaman bilinmeyenleri tek tek bulmak gerekmez. 2x + 3y = 17 ve 3x + 2y = 13 sisteminde x + y soruluyorsa iki denklemi toplamak yeter: 5x + 5y = 30, yani x + y = 6. Birinci denklemi ikinciden çıkarmak da x − y = −4 verir. Bu ikisinden x = 1 ve y = 5 de kolayca bulunur.
Grafikle yorum
Birinci dereceden iki bilinmeyenli her denklemin analitik düzlemdeki grafiği bir doğrudur. Sistemin çözümü iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarıdır: (3, 5) çözümü, y = 2x − 1 ve 3x + 2y = 19 doğrularının bu noktada kesiştiğini anlatır. Doğrular paralelse ortak nokta, dolayısıyla çözüm yoktur; çakışıksa her ortak nokta bir çözümdür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x/2 + y/3 = 4 ve x − y = 3 sisteminin çözümü nedir?
Çözüm. Birinci denklemi 6 ile çarparak kesirlerden kurtuluruz: 3x + 2y = 24. İkinci denklemden x = y + 3 yazılabildiği için yerine koyma yöntemi uygundur: 3(y + 3) + 2y = 24, yani 5y + 9 = 24 ve y = 3. Buradan x = 6 bulunur. Kontrol: 6/2 + 3/3 = 3 + 1 = 4.
Örnek 2. 4x − 3y = 5 ve 6x + 5y = 17 olduğuna göre x·y kaçtır?
Çözüm. x'li terimleri yok etmek için birinci denklemi 3 ile, ikinciyi 2 ile çarparız: 12x − 9y = 15 ve 12x + 10y = 34. İkinciden birinciyi çıkarınca 19y = 19 ve y = 1 olur. Birinci denklemde yerine koyunca 4x − 3 = 5 ve x = 2 bulunur. x·y = 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Bir denklemi bir sayıyla çarparken sağ taraftaki sabiti çarpmamak.
- Taraf tarafa çıkarırken ikinci denklemin bütün terimlerinin işaretini değiştirmemek.
- Sorulan x + y gibi bir ifadeyken bilinmeyenleri tek tek bulmaya uğraşıp zaman kaybetmek.
- Katsayısı 1 olan bilinmeyen varsa yerine koyma, yoksa yok etme genellikle daha hızlıdır.
- Çarptığın denklemin her terimini, sağ taraf dahil, çarp.
- Sistemin çözümü iki doğrunun kesişim noktasıdır.