Konu anlatımı
İki bilinmeyenli bir denklem sisteminin her zaman tek bir çözümü olmaz. Grafikteki doğrular paralelse hiç ortak nokta yoktur, çakışıksa sonsuz ortak nokta vardır. Bu alt başlıkta sistemi çözmeye girişmeden, yalnızca katsayılara bakarak hangi durumla karşılaştığını anlamayı ve buna göre parametre bulmayı öğreneceksin.
Katsayı oranları
ax + by = c ve dx + ey = f sisteminde (d, e ve f sıfırdan farklı) karşılık gelen katsayıların oranları karşılaştırılır. Denklemler önce bu biçime, yani bilinmeyenler solda ve sabit sağda olacak şekilde düzenlenmelidir.
- a/d ≠ b/e ise doğrular kesişir; sistemin tek çözümü vardır.
- a/d = b/e ≠ c/f ise doğrular paraleldir; sistemin çözümü yoktur.
- a/d = b/e = c/f ise doğrular çakışıktır; sistemin sonsuz çözümü vardır.
Neden böyle?
a/d = b/e = k ise birinci denklemin sol tarafı, ikincinin sol tarafının tam k katıdır. Sağ taraflar da aynı oranda ise iki denklem aslında aynı denklemdir; aynı doğruyu iki kez yazmış olursun ve doğrunun her noktası çözümdür. Sağ taraflar bu oranda değilse aynı ifadeye iki farklı değer eşitlenmiş olur. 2x + 3y = 6 ile 4x + 6y = 15 sistemini düşün: ikinci denklem 2x + 3y = 7,5 demektir ve 2x + 3y aynı anda hem 6 hem 7,5 olamaz.
Aynı durumu yok etme yöntemiyle de görürsün. Paralel doğrularda bilinmeyenler birlikte yok olur ve 0 = 3 gibi yanlış bir eşitlik kalır; çakışık doğrularda 0 = 0 kalır. Bu, tek bilinmeyenli denklemlerdeki boş küme ve ℝ durumlarının iki bilinmeyenli karşılığıdır.
Parametre bulma
Soru sistemin çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olduğunu söylüyorsa önce x ve y katsayılarının oranlarını eşitleyip parametreyi bulursun, sonra sabitlerin oranıyla koşulun gerçekten sağlandığını kontrol edersin. Tek çözüm isteniyorsa x ve y katsayılarının oranları eşit olmamalıdır: ax + 2y = 3 ve 6x + 4y = 1 sisteminin tek çözümü olması için a/6 ≠ 2/4, yani a ≠ 3 olmalıdır.
Katsayılardan biri 0 ise oran yazılamaz; bu durumda bir denklemin sol tarafının öbürünün katı olup olmadığına doğrudan bakılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (m − 1)x + 4y = 7 ve 3x + 6y = 5 sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Çözüm olmaması için x ve y katsayılarının oranları eşit, sabitlerin oranı farklı olmalıdır: (m − 1)/3 = 4/6 ≠ 7/5. 4/6 = 2/3 olduğundan m − 1 = 2 ve m = 3 bulunur. Kontrol: 2/3 ile 7/5 farklıdır; doğrular gerçekten paraleldir.
Örnek 2. 2x − ky = 4 ve 6x + 9y = n sisteminin sonsuz çözümü olduğuna göre k + n kaçtır?
Çözüm. Sonsuz çözüm için bütün oranlar eşit olmalıdır: 2/6 = −k/9 = 4/n. 2/6 = 1/3 olduğundan −k/9 = 1/3'ten k = −3, 4/n = 1/3'ten n = 12 bulunur. k + n = 9'dur. Kontrol: k = −3 için birinci denklem 2x + 3y = 4 olur; 3 ile çarpınca ikinci denklem 6x + 9y = 12 elde edilir.
Sık yapılan hatalar
- Çözümsüzlük için yalnızca x ve y katsayılarına bakıp sabitlerin oranının farklı olduğunu kontrol etmemek.
- Denklemleri ax + by = c biçimine getirmeden oran yazmak.
- Katsayıdaki eksi işaretini orana taşımayı unutmak: 2x − ky denkleminde y'nin katsayısı −k'dir.
- a/d ≠ b/e: tek çözüm, kesişen doğrular.
- a/d = b/e ≠ c/f: çözüm yok, paralel doğrular.
- a/d = b/e = c/f: sonsuz çözüm, çakışık doğrular.