Konu anlatımı
Köklü sayıların çoğu irrasyoneldir ve ondalık açılımları sonsuzdur; bu yüzden onları hesap makinesi olmadan karşılaştırmanın yollarını bilmek gerekir. Bu alt başlıkta üç yöntemi, √n'nin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmayı ve fark biçimindeki sayıları eşlenikle karşılaştırmayı göreceksin.
Katsayıyı kök içine alma
Aynı dereceli köklerde katsayılar kök içine alınır, sonra kök içleri karşılaştırılır; kök derecesi aynı ve içler pozitifse içi büyük olan büyüktür. a = 3√5, b = 4√3 ve c = 5√2 için a = √45, b = √48, c = √50 olduğundan sıralama a < b < c'dir.
Ortak kök derecesi
Dereceler farklıysa kök dereceleri EKOK'larına genişletilir. √3 ile ∛5 için ortak derece 6'dır: √3 = ⁶√27 ve ∛5 = ⁶√25. 27, 25'ten büyük olduğu için √3 > ∛5'tir. Bu yöntem, üslü sayılarda üsleri eşitlemenin köklü karşılığıdır.
Tam kareler arasına yerleştirme ve eşlenik
Bir karekökün hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için kök içinin iki ardışık tam kare arasında olduğunu gösterirsin. 40, 36 ile 49 arasında olduğundan √40, 6 ile 7 arasındadır; 40, 36'ya daha yakın olduğu için √40 yaklaşık 6,3'tür. √2, √3, √5 gibi sayıların sayı doğrusundaki yerini belirlemenin temeli de budur.
Fark biçimindeki sayıları karşılaştırırken eşlenik işe yarar: √11 − √10 = 1/(√11 + √10) ve √10 − 3 = √10 − √9 = 1/(√10 + √9) olur. Paydası büyük olan kesir küçük olduğundan √11 − √10 < √10 − 3'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. √n sayısı 7 ile 8 arasında olduğuna göre n'nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Çözüm. 7 < √n < 8 eşitsizliğinde her taraf pozitif olduğu için kareleri alınabilir: 49 < n < 64. n tam sayı olduğundan 50, 51, ..., 63 değerlerini alır. Bu değerlerin sayısı 63 − 50 + 1 = 14'tür.
Örnek 2. a = √5 − 2, b = √6 − √5 ve c = √7 − √6 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Her farkı eşleniğiyle yazarız. 2 = √4 olduğundan a = √5 − √4 = 1/(√5 + √4), b = 1/(√6 + √5), c = 1/(√7 + √6) olur. Paydalar küçükten büyüğe √5 + √4, √6 + √5, √7 + √6 biçimindedir. Payları 1 olan kesirlerde paydası büyük olan küçüktür; c en küçük, a en büyüktür. Sıralama küçükten büyüğe c, b, a'dır.
Sık yapılan hatalar
- Katsayıyı kök içine almadan yalnızca kök içlerini karşılaştırmak: 4√3 ile 3√5'te √3, √5'ten küçük diye karar vermek.
- Farklı dereceli köklerin içlerini doğrudan karşılaştırmak: ∛5'in √3'ten büyük olduğunu sanmak.
- Tam kareler arasına yerleştirirken uç değerlerin dahil olup olmadığını karıştırmak.
- Aynı derecede katsayıları içeri al, içleri karşılaştır.
- Farklı derecede kök derecelerinin EKOK'una genişlet.
- √n'nin yerini, n'yi iki ardışık tam karenin arasına koyarak bul.