Konu anlatımı
Bilinmeyenin kök içinde bulunduğu denklemlere köklü denklem denir. Çözüm yolu kökü yalnız bırakıp iki tarafın uygun kuvvetini almaktır; ama bu işlem bazen denklemi sağlamayan sahte kökler üretir. Bu alt başlıkta yöntemi ve kontrolün neden zorunlu olduğunu göreceksin.
Kökü yalnız bırak, kuvvet al
√(2x + 1) = 5 denkleminde iki tarafın karesi alınır: 2x + 1 = 25 ve x = 12. ∛(x − 2) = 3 denkleminde iki tarafın küpü alınır: x − 2 = 27 ve x = 29. Kökün yanında başka terim varsa önce kök yalnız bırakılır: √(x + 3) − 2 = 4 için √(x + 3) = 6, x + 3 = 36 ve x = 33.
Tanım koşulu ve sahte kökler
Karekök negatif olmayan bir değer verdiği için √A = B denkleminde hem A ≥ 0 hem de B ≥ 0 olmalıdır. Kare alma bu bilgiyi kaybettirir: √A = B ile √A = −B denklemlerinin kareleri aynıdır. Bu yüzden karesi alınarak bulunan her kök asıl denklemde denenmelidir.
√(x + 3) = x + 1 için kare alınca x + 3 = x² + 2x + 1, yani x² + x − 2 = 0 ve (x + 2)(x − 1) = 0 bulunur. x = 1 için √4 = 2 = 1 + 1 sağlanır. x = −2 için sol taraf √1 = 1, sağ taraf −1 olduğundan sağlanmaz; bu sahte köktür. Çözüm kümesi {1}'dir. Sağ tarafın negatif olmama koşulu (x + 1 ≥ 0) sahte kökü baştan da eler.
Üslü ve köklü karışık denklemler
Köklü ifadeler kesirli üs olarak yazılınca bazı denklemler üslü denkleme dönüşür. 2ˣ = 4√2 için sağ taraf 2²·2^(1/2) = 2^(5/2) olduğundan x = 5/2 bulunur. √(3ˣ) = 27 için sol taraf 3^(x/2), sağ taraf 3³ olduğundan x/2 = 3 ve x = 6'dır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. √(x + 5) + 1 = x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Kökü yalnız bırakırız: √(x + 5) = x − 1. Sağ taraf negatif olamayacağı için x ≥ 1 olmalıdır. Kare alınca x + 5 = x² − 2x + 1, yani x² − 3x − 4 = 0 ve (x − 4)(x + 1) = 0 bulunur. x = 4 için √9 + 1 = 4 sağlanır. x = −1, x ≥ 1 koşulunu sağlamaz; denklemde denersen √4 + 1 = 3 ≠ −1 olur. Çözüm kümesi {4}'tür.
Örnek 2. ∛(x² − 1) = 2 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm. İki tarafın küpünü alırız: x² − 1 = 8, yani x² = 9 ve x = 3 ya da x = −3. Küpkök her sayı için tanımlı olduğundan ek bir koşul yoktur; iki değer de denklemi sağlar: ∛(9 − 1) = ∛8 = 2. Değerlerin çarpımı 3·(−3) = −9'dur.
Sık yapılan hatalar
- Kare alarak bulunan kökleri asıl denklemde denememek.
- Kökü yalnız bırakmadan kare almak: √x + 1 = 3 için x + 1 = 9 yazmak gibi.
- (x − 1)² ifadesini x² − 1 diye açmak; doğrusu x² − 2x + 1'dir.
- Önce kökü yalnız bırak, sonra kök derecesi kadar kuvvet al.
- √A = B'de A ≥ 0 ve B ≥ 0 olmalıdır; bulduğun kökleri mutlaka dene.
- Köklü ifadeyi kesirli üsle yazmak, üslü denklemlere geçişi sağlar.