Konu anlatımı
Bazı ifadeler karmaşık görünür ama içlerinde aynı parça tekrar eder. Bu parçaya yeni bir harf verdiğinde ifade, tanıdığın bir kalıba dönüşür. Bu alt başlıkta değişken değiştirme yöntemini, uygun parçayı seçmeyi ve sonucu ilk değişkene geri yazmayı öğreneceksin.
Tekrar eden parçayı adlandırmak
(x + 1)² + 5(x + 1) + 6 ifadesinde x + 1 iki kez geçer. x + 1 = t dersen ifade t² + 5t + 6 = (t + 2)(t + 3) olur. Geri yazınca (x + 1 + 2)(x + 1 + 3) = (x + 3)(x + 4) elde edilir.
Geri yazmayı unutmak en sık yapılan hatadır; cevap t cinsinden değil, x cinsinden olmalıdır. Geri yazdıktan sonra çarpanların daha fazla ayrılıp ayrılmadığını da kontrol et.
x⁴ + bx² + c türü ifadeler
x⁴ = (x²)² olduğundan x² = t dönüşümü ifadeyi üç terimliye çevirir. x⁴ − 13x² + 36 için t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9) bulunur. Geri yazınca (x² − 4)(x² − 9) olur ve iki kare farkı iki kez uygulanınca (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) elde edilir.
Aynı yöntem tekrar eden daha uzun parçalarda da işe yarar: (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 ifadesinde x² − 2x = t dersen t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) olur; geri yazınca (x² − 2x − 3)(x² − 2x + 1) = (x − 3)(x + 1)(x − 1)² bulunur.
Gizli tekrarı görmek
Bazen tekrar eden parça doğrudan görünmez; bir düzenleme gerekir. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 ifadesinde ilk ve son çarpanı, ortadaki iki çarpanı eşleştir: x(x + 3) = x² + 3x ve (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2. x² + 3x = t dersen ifade t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² olur; geri yazınca (x² + 3x + 1)² elde edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2x − 1)² − 3(2x − 1) − 10 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm. 2x − 1 = t dersen ifade t² − 3t − 10 olur. Çarpımı −10, toplamı −3 olan sayılar −5 ve 2'dir: (t − 5)(t + 2). Geri yazınca (2x − 1 − 5)(2x − 1 + 2) = (2x − 6)(2x + 1) bulunur. İlk çarpandan 2 ortak çarpan olarak alınınca sonuç 2(x − 3)(2x + 1) olur.
Örnek 2. x⁴ − 5x² + 4 ifadesini çarpanlarına ayırınız ve ifadeyi sıfır yapan x değerlerini bulunuz.
Çözüm. x² = t dersen t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) olur. Geri yazınca (x² − 1)(x² − 4) ve iki kare farkıyla (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) bulunur. Çarpım, çarpanlardan biri sıfır olduğunda sıfırdır; ifadeyi sıfır yapan değerler x = 1, −1, 2 ve −2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Sonucu yeni değişken cinsinden bırakıp ilk değişkene geri yazmamak.
- Geri yazdıktan sonra hâlâ ayrılabilen çarpanları (x² − 4 gibi) ayırmayı unutmak.
- Tekrar eden parçayı yanlış belirleyip yeni değişkeni uygun seçmemek.
- Tekrar eden parçaya yeni bir harf ver, kalıbı tanı, çarpanlara ayır.
- x⁴ + bx² + c için x² = t dönüşümünü kullan.
- Sonucu mutlaka ilk değişkene geri yaz ve ayrılabilen çarpanları sonuna kadar ayır.