Konu anlatımı
Tam kare ifadeler bir iki terimlinin karesidir. Bu alt başlıkta açılım kurallarını, bir üç terimlinin tam kare olup olmadığını anlamayı, tam kareye tamamlamayı ve toplam-çarpım bilgisiyle kareler toplamını bulmayı göreceksin.
Açılımlar
(a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b²'dir. (a + b)² = (a + b)(a + b) çarpımını dağıtınca a² + ab + ab + b² elde edilir; ortadaki iki terim 2ab'yi oluşturur. Bu terim sık unutulur: (x + 3)² = x² + 6x + 9'dur, x² + 9 değildir. (a − b)² açılımında son terim yine pozitiftir, çünkü (−b)² = b²'dir.
Tam kareyi tanımak ve tamamlamak
Bir üç terimlinin tam kare olması için baş ve son terimin kare, orta terimin de bu karelerin tabanlarının çarpımının 2 katı olması gerekir. 4x² − 12x + 9 ifadesinde 4x² = (2x)², 9 = 3² ve 2·2x·3 = 12x olduğundan ifade (2x − 3)²'dir.
Tam kareye tamamlama, eksik terimi ekleyip çıkarmaktır: x² + 6x + 13 = (x² + 6x + 9) + 4 = (x + 3)² + 4. Bir kare negatif olamadığı için bu ifadenin en küçük değeri x = −3 için 4'tür. x² + bx ifadesinde eklenecek terim (b/2)²'dir.
Toplam ve çarpımdan kareler toplamı
a + b ve ab biliniyorsa a² + b² = (a + b)² − 2ab ile bulunur; a − b biliniyorsa a² + b² = (a − b)² + 2ab kullanılır. Ayrıca (a + b)² − (a − b)² = 4ab eşitliği, toplamı ve farkı verilen sayıların çarpımını hemen verir.
Aynı fikir x + 1/x biçimindeki ifadelerde de işe yarar: x + 1/x = 3 ise x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 9 − 2 = 7 olur, çünkü x·(1/x) = 1'dir ve orta terim 2'ye eşittir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a − b = 4 ve a·b = 5 olduğuna göre a² + b² kaçtır ve a + b hangi değerleri alabilir?
Çözüm. a² + b² = (a − b)² + 2ab = 16 + 10 = 26'dır. (a + b)² = a² + b² + 2ab = 26 + 10 = 36 olduğundan a + b = 6 ya da a + b = −6'dır. Gerçekten a = 5, b = 1 için toplam 6; a = −1, b = −5 için toplam −6'dır ve iki çift de verilen koşulları sağlar.
Örnek 2. 9x² + kx + 16 ifadesi bir tam kare olduğuna göre k'nın alabileceği değerler nelerdir?
Çözüm. Baş terim 9x² = (3x)², son terim 16 = 4²'dir. İfade (3x + 4)² ya da (3x − 4)² olabilir. Orta terim 2·3x·4 = 24x ya da −24x olacağından k = 24 ya da k = −24'tür.
Sık yapılan hatalar
- (a + b)² = a² + b² sanmak.
- (a − b)² açılımında son terimi −b² yazmak; doğrusu +b²'dir.
- Tam kare koşulunda orta terimin iki işaretli olabileceğini gözden kaçırmak.
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
- a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab.
- Tam kareye tamamlamada x² + bx için (b/2)² ekle ve çıkar.