Konu anlatımı
Ortak çarpan parantezine alma, çarpanlara ayırmanın ilk ve en sık kullanılan adımıdır. Dağılma özelliğinin tersidir: a·b + a·c = a·(b + c). Bu alt başlıkta ortak çarpanı eksiksiz bulmayı ve ortak çarpanın bazen bütün bir parantez olabileceğini göreceksin.
Ortak çarpanı bulmak
Ortak çarpan iki kısımdan oluşur: katsayıların EBOB'u ve her terimde bulunan harflerin en küçük kuvvetleri. 12x³y − 18x²y² + 6x²y ifadesinde katsayıların EBOB'u 6, x'in en küçük kuvveti x², y'nin en küçük kuvveti y'dir. Ortak çarpan 6x²y olur ve ifade 6x²y(2x − 3y + 1) biçiminde yazılır.
Parantez içindeki her terim, asıl terimin ortak çarpana bölümüdür. Ortak çarpana eşit olan terim parantez içinde 1 olarak kalır; son terimdeki 1 bu yüzden oradadır. Sonucu kontrol etmek için parantezi yeniden dağıtırsın ve ilk ifadeyi elde ettiğini görürsün.
Ortak çarpan bir ifade olabilir
Ortak çarpan bir sayı ya da harf olmak zorunda değildir; bütün bir parantez de olabilir: 3a(x − 2) + 5(x − 2) = (x − 2)(3a + 5).
Bazen ortak parantez işaret farkıyla gizlenir. a(x − y) + b(y − x) ifadesinde y − x = −(x − y) olduğundan ifade a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b) olur. Birbirinin ters işaretlisi olan iki parantezi görmek, bu tür soruların anahtarıdır.
Sayısal işlemlerde kullanım
Ortak çarpan büyük sayılarla yapılan işlemleri de kısaltır: 37·64 + 37·36 = 37·(64 + 36) = 37·100 = 3700. Üslü sayılarda da aynı fikir kullanılır: 2¹⁰ + 2⁹ = 2⁹(2 + 1) = 3·2⁹. Hesaba başlamadan önce terimlerde tekrar eden bir çarpan olup olmadığına bakmak çoğu zaman uzun işlemleri gereksiz kılar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x²y − xy² = 30 ve xy = 6 olduğuna göre x − y kaçtır?
Çözüm. Sol taraftaki ortak çarpan xy'dir: x²y − xy² = xy(x − y). Verilenleri yerine koyunca 6(x − y) = 30 olur ve x − y = 5 bulunur.
Örnek 2. a(a − 3) − 2(3 − a) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm. 3 − a = −(a − 3) olduğundan −2(3 − a) = 2(a − 3) yazılır. İfade a(a − 3) + 2(a − 3) olur ve ortak parantez a − 3 dışarı alınınca (a − 3)(a + 2) elde edilir. Kontrol: (a − 3)(a + 2) = a² − a − 6 ve a(a − 3) − 2(3 − a) = a² − 3a − 6 + 2a = a² − a − 6.
Örnek 3. 98·45 + 98·55 − 98 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Üç terimde de 98 ortak çarpandır; son terim 98·1 olarak düşünülür. 98·(45 + 55 − 1) = 98·99 bulunur. 98·99 = 98·(100 − 1) = 9800 − 98 = 9702'dir.
Sık yapılan hatalar
- Ortak çarpana eşit olan terimin yerine parantezde 1 yazmayı unutmak.
- Ortak çarpanın tamamını almamak: 12x² + 18x için yalnızca 6'yı ya da yalnızca x'i dışarı alıp ayırmayı yarım bırakmak; tam ortak çarpan 6x'tir.
- y − x ile x − y'nin ortak çarpan olduğunu görmemek; aralarında yalnızca işaret farkı vardır.
- Ortak çarpan = katsayıların EBOB'u × ortak harflerin en küçük kuvvetleri.
- Ortak çarpan bir parantez de olabilir.
- y − x = −(x − y).