Konu anlatımı
Pay ve paydası polinom olan kesirlere rasyonel ifade denir: (x² − 9)/(x + 3) gibi. Bu ifadeleri sadeleştirmenin güvenli yolu pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirmektir. Bu alt başlıkta sadeleştirmeyi, ifadenin tanımsız olduğu değerleri ve rasyonel ifadelerle işlem yapmayı göreceksin.
Tanım ve tanımsız değerler
P(x) ve Q(x) polinom ve Q(x) sıfır polinomu değilken P(x)/Q(x) ifadesine rasyonel ifade denir. İfade, paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızdır. (x + 1)/(x² − 4) ifadesi x² − 4 = 0, yani x = 2 ya da x = −2 için tanımsızdır.
Sadeleştirme
Pay ve payda çarpanlarına ayrılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir: (x² − 9)/(x² − 3x) = (x − 3)(x + 3)/(x(x − 3)) = (x + 3)/x. Sadeleşen çarpan ifadeden kaybolur ama tanımsızlık koşulu kalır: ilk ifade x = 3'te de tanımsızdır, sade hâl ise yalnızca x = 0'da tanımsız görünür. Sorular bu yüzden genellikle “tanımlı olduğu değerler için” diye belirtir.
Yalnızca çarpanlar sadeleşir, terimler sadeleşmez: (x + 6)/6 ifadesinde 6'lar silinemez; ama 6(x + 1)/6 ifadesinde 6 bir çarpan olduğu için silinir. İşaret farkıyla gizlenen ortak çarpanları da gör: x ≠ 2 için (2 − x)/(x − 2) = −1'dir.
Rasyonel ifadelerle işlem
Çarpma ve bölmede önce bütün pay ve paydalar çarpanlarına ayrılır, sonra çapraz sadeleştirme yapılır; bölmede ikinci ifade ters çevrilir. Toplama ve çıkarmada paydalar çarpanlarına ayrılıp ortak payda bulunur: 1/(x − 1) − 2/(x² − 1) = (x + 1)/(x² − 1) − 2/(x² − 1) = (x − 1)/(x² − 1) = 1/(x + 1).
Lise programı, çarpanları polinom olmayan ifadelerin (örneğin içinde √x geçen ifadelerin) çarpanlara ayrılmasına girmez; sadeleştirme soruları polinom çarpanlarla kurulur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x ≠ 2 ve x ≠ −2 olmak üzere (x² − 4x + 4)/(x² − 4) · (x + 2)/(x − 2) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Çarpanlara ayırırız: x² − 4x + 4 = (x − 2)² ve x² − 4 = (x − 2)(x + 2). İfade (x − 2)²/((x − 2)(x + 2)) · (x + 2)/(x − 2) olur. Paydaki (x − 2)² ile paydadaki iki (x − 2) çarpanı, (x + 2) ile de (x + 2) sadeleşir. Sonuç 1'dir.
Örnek 2. Tanımlı olduğu değerler için (x³ − x)/(x² + x) ÷ (x − 1)/(x + 3) işleminin sonucu nedir?
Çözüm. Birinci kesri ayırırız: x³ − x = x(x − 1)(x + 1) ve x² + x = x(x + 1). Sadeleşince birinci kesir x − 1 olur. Bölmede ikinci kesri ters çevirip çarparız: (x − 1)·(x + 3)/(x − 1) = x + 3. Sonuç x + 3'tür.
Sık yapılan hatalar
- Toplam içindeki terimleri sadeleştirmek: (x + 6)/6 = x yazmak gibi.
- Sadeleştirmeden sonra ilk ifadenin tanımsız olduğu değerleri unutmak.
- (2 − x) ile (x − 2) arasındaki işaret farkını gözden kaçırıp sonucu 1 yazmak.
- Önce pay ve paydayı çarpanlarına ayır; yalnızca çarpanlar sadeleşir.
- Paydayı sıfır yapan değerler, sadeleşse bile ilk ifadeyi tanımsız yapar.
- a ≠ b için (a − b)/(b − a) = −1.