Konu anlatımı
ax² + bx + c biçimindeki üç terimliler, ikinci dereceden denklemlerin ve kesirli ifadelerin temelidir. Bu alt başlıkta önce baş katsayısı 1 olan ifadeleri, sonra baş katsayısı 1'den farklı olanları adım adım çarpanlarına ayırmayı göreceksin.
x² + bx + c
(x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + m·n olduğundan x² + bx + c ifadesini ayırmak için toplamı b, çarpımı c olan iki sayı ararsın. x² − 7x + 12 için çarpımı 12, toplamı −7 olan sayılar −3 ve −4'tür: (x − 3)(x − 4). x² + 2x − 15 için çarpımı −15, toplamı 2 olan sayılar 5 ve −3'tür: (x + 5)(x − 3).
İşaretler yol gösterir: c pozitifse iki sayı aynı işaretlidir ve işaretleri b'nin işaretidir; c negatifse sayılar farklı işaretlidir ve işaretsiz değeri büyük olanın işareti b'nin işaretidir.
ax² + bx + c (a ≠ 1)
a·c çarpımını hesapla ve çarpımı a·c, toplamı b olan iki sayı bul; orta terimi bu iki sayıya bölüp gruplandır. 6x² + x − 2 için a·c = −12'dir; çarpımı −12, toplamı 1 olan sayılar 4 ve −3'tür. 6x² + 4x − 3x − 2 = 2x(3x + 2) − (3x + 2) = (3x + 2)(2x − 1).
Sonucu her zaman çarpımı dağıtarak kontrol et. Ayrıca önce ortak çarpan varsa al: 2x² − 10x + 12 = 2(x² − 5x + 6) = 2(x − 2)(x − 3).
Ayrılmayan üç terimliler
Her üç terimli tam sayı katsayılı çarpanlara ayrılmaz. x² + x + 1 için çarpımı 1, toplamı 1 olan tam sayı yoktur. İkinci dereceden denklemlerde göreceğin diskriminant (b² − 4ac) negatifse ifade gerçek sayılarda hiç çarpanlarına ayrılmaz; x² + x + 1 için 1 − 4 = −3'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − x − 20 ve 2x² − 9x − 5 ifadelerini çarpanlarına ayırınız. Ortak çarpanları nedir?
Çözüm. x² − x − 20 için çarpımı −20, toplamı −1 olan sayılar −5 ve 4'tür: (x − 5)(x + 4). 2x² − 9x − 5 için a·c = −10'dur; çarpımı −10, toplamı −9 olan sayılar −10 ve 1'dir: 2x² − 10x + x − 5 = 2x(x − 5) + (x − 5) = (x − 5)(2x + 1). Ortak çarpan x − 5'tir.
Örnek 2. 3x² + 10x + 8 = (ax + b)(x + c) özdeşliğinde a, b, c tam sayı olduğuna göre a + b + c kaçtır?
Çözüm. a·c çarpımı 3·8 = 24'tür; çarpımı 24, toplamı 10 olan sayılar 6 ve 4'tür. 3x² + 6x + 4x + 8 = 3x(x + 2) + 4(x + 2) = (3x + 4)(x + 2) bulunur. Buna göre a = 3, b = 4, c = 2 ve a + b + c = 9'dur.
Sık yapılan hatalar
- Çarpımı ve toplamı verilen sayılarda işaretleri karıştırmak: x² − 7x + 12 için 3 ve 4 almak; doğrusu −3 ve −4'tür.
- Baş katsayı 1'den farklıyken yalnızca c'nin çarpanlarına bakmak; a·c çarpımı kullanılmalıdır.
- Ayırdıktan sonra çarpımı dağıtarak kontrol etmemek.
- x² + bx + c: çarpımı c, toplamı b olan iki sayı.
- ax² + bx + c: çarpımı a·c, toplamı b olan sayılarla orta terimi böl ve grupla.
- Önce ortak çarpanı al; sonucu dağıtarak kontrol et.