Konu anlatımı
Aritmetik ortalama en çok kullanılan merkezî eğilim ölçüsüdür. Bu alt başlıkta ortalamayı hesaplamayı, toplam ile ortalama arasındaki ilişkiyi kullanmayı, frekans tablosunda ortalamayı ve düzeltme, uç değer çıkarma ve grup birleştirme sorularını göreceksin.
Tanım ve toplam ilişkisi
Bir veri grubundaki değerlerin toplamının veri sayısına bölümüne aritmetik ortalama denir. 12, 15, 9, 20 ve 14 verilerinin ortalaması 70/5 = 14'tür. Soruların çoğunda ortalamanın kendisinden çok toplam işe yarar: toplam = ortalama·veri sayısı. 8 kişilik bir grubun yaş ortalaması 15 ise yaşların toplamı 120'dir. Bu yüzden ortalama sorularına başlarken ilk iş verilen ortalamaları toplamlara çevirmektir.
Frekans tablosunda ortalama
Değerleri frekanslarıyla verilen bir grupta toplam, her değerin frekansıyla çarpılıp toplanmasıyla bulunur. 4 öğrenci 60, 10 öğrenci 70 ve 6 öğrenci 85 aldıysa toplam 4·60 + 10·70 + 6·85 = 240 + 700 + 510 = 1450, ortalama 1450/20 = 72,5 olur. Ortalama, frekansı büyük olan değere daha yakındır; bu yüzden üç değerin basit ortalaması olan yaklaşık 71,7'den farklıdır.
Düzeltme, uç değer çıkarma ve birleştirme
Hatalı yazılmış bir veri düzeltilirken toplam, doğru değer ile yanlış değer arasındaki fark kadar değişir; ortalama ise bu farkın veri sayısına bölümü kadar değişir. Yarışmalarda en yüksek ve en düşük puan çıkarılarak hesaplanan ortalamada önce toplam bulunur, uç değerler çıkarılır ve kalan veri sayısına bölünür.
İki grup birleşince ortalama, toplamların toplamının kişi sayılarının toplamına bölümüdür; iki ortalamanın ortalaması değildir. Ortalaması 70 olan 10 kişilik bir grupla ortalaması 90 olan 30 kişilik bir grup birleşince ortalama (700 + 2700)/40 = 85 olur, 80 değil. Kalabalık grubun ortalaması sonucu kendine doğru çeker.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir yarışmada 7 hakemin verdiği puanların ortalaması 8'dir. En yüksek ve en düşük puan çıkarılınca kalan 5 puanın ortalaması 7,8 oluyor. En yüksek puan en düşük puandan 3 fazla olduğuna göre en düşük puan kaçtır?
Çözüm. 7 puanın toplamı 7·8 = 56, kalan 5 puanın toplamı 5·7,8 = 39'dur. Çıkarılan iki puanın toplamı 56 − 39 = 17'dir. En yüksek puan y, en düşük puan d ise y + d = 17 ve y − d = 3 olur; buradan d = 7 ve y = 10 bulunur.
Örnek 2. 16 öğrencinin not ortalaması 70 olarak hesaplanmıştır. Bir öğrencinin notunun 92 yerine 60 yazıldığı fark edilip düzeltiliyor. Ardından sınava sonradan giren 4 öğrencinin notları da ekleniyor ve 20 öğrencinin ortalaması 71 oluyor. Sonradan giren öğrencilerin not ortalaması kaçtır?
Çözüm. Hatalı toplam 16·70 = 1120'dir; düzeltmeyle 92 − 60 = 32 artarak 1152 olur. 20 öğrencinin toplamı 20·71 = 1420 olduğundan sonradan girenlerin notları toplamı 1420 − 1152 = 268'dir. Ortalamaları 268/4 = 67'dir. Düzeltmeyi unutmak 300/4 = 75 gibi yanlış bir sonuç verir.
Örnek 3. Bir sınıfta kızların not ortalaması 80, erkeklerin not ortalaması 70 ve sınıfın not ortalaması 74'tür. Kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı kaçtır?
Çözüm. Kız sayısı k, erkek sayısı e olsun. Toplamlardan 80k + 70e = 74(k + e) yazılır. Düzenleyince 6k = 4e, yani k/e = 2/3 bulunur. Sınıf ortalamasının 70'e daha yakın olması, erkeklerin daha kalabalık olduğunu zaten gösterir.
Sık yapılan hatalar
- Hatalı veri düzeltilince ortalamayı farkın kendisi kadar değiştirmek; ortalama, farkın veri sayısına bölümü kadar değişir.
- İki grubun ortalamalarının ortalamasını birleşik grubun ortalaması sanmak.
- Uç değerleri çıkardıktan sonra eski veri sayısına bölmek.
- Toplam = ortalama·veri sayısı; sorularda önce toplamı bul.
- Frekans tablosunda toplam, değer·frekans çarpımlarının toplamıdır.
- Birleşik ortalama = toplamların toplamı/kişi sayılarının toplamı.