Konu anlatımı
Gerçek hayattaki verileri yorumlarken tek bir ölçü çoğu zaman yetmez. Bu alt başlıkta ortalama, ortanca, tepe değer ve açıklığı birlikte kullanarak eksik verileri bulmayı, bu ölçüleri karşılaştırmayı ve bir durumu en iyi özetleyen ölçüyü seçmeyi göreceksin.
Ölçülerden veri bulmak
Beş verili bir grupta ortanca, ortalama, açıklık ve tepe değer verildiğinde veriler sıralı olarak a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e biçiminde yazılır. Ortanca c'yi, ortalama toplamı (5·ortalama), açıklık e − a farkını verir. Tepe değer, tekrar eden değerin yerini belirler: tepe değer ortancadan küçükse a ve b'dir, büyükse d ve e'dir.
Bu bilgilerle bilinmeyen değerler sırayla bulunur. Sonunda bütün koşulların, özellikle “tek tepe değer” koşulunun ve sıralamanın, sağlandığı kontrol edilir; kontrol edilmeyen bir çözüm başka bir koşulu bozabilir.
Ölçüleri karşılaştırmak
Frekans tablosu verilen bir grupta ortalama, ortanca ve tepe değer ayrı ayrı hesaplanıp sıralanabilir. Grupta birkaç çok büyük değer varsa veriler sağa doğru uzanır ve ortalama ortancadan büyük olur. Grupta birkaç çok küçük değer varsa ortalama ortancanın altına düşer. Ölçülerin hiçbiri tek başına bütün grubu anlatmaz; birlikte yorumlanmaları gerekir.
Uygun ölçüyü seçmek
Uç değer içermeyen ve dengeli dağılmış verilerde ortalama iyi bir özettir. Gelir ya da ev fiyatı gibi birkaç çok büyük değer içeren verilerde ortanca daha gerçekçi bir tipik değer verir. En çok tercih edilen ürünü ya da en sık görülen durumu anlatmak için tepe değer kullanılır. Bir mağaza en çok satılan bedeni stoklamak istiyorsa tepe değere, bir şirket çalışanlarının tipik maaşını anlatmak istiyorsa ortancaya bakar.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir kitap kulübündeki 20 üyenin bir ayda okuduğu kitap sayıları şöyledir: 1 kitap okuyan 2, 2 kitap okuyan 7, 3 kitap okuyan 5, 4 kitap okuyan 3 ve 6 kitap okuyan 3 üye. Ortalama, ortanca ve tepe değeri küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm. Toplam kitap 1·2 + 2·7 + 3·5 + 4·3 + 6·3 = 61, ortalama 61/20 = 3,05'tir. Ortanca 10. ve 11. değerlerin ortalamasıdır: ilk 2 değer 1, sonraki 7 değer 2 olduğundan 10. ve 11. değerler 3'tür; ortanca 3'tür. En sık değer 7 üyeyle 2'dir. Sıralama: tepe değer (2) < ortanca (3) < ortalama (3,05). 6 kitap okuyan üyeler ortalamayı yukarı çekmiştir.
Örnek 2. Beş doğal sayıdan oluşan bir grubun ortalaması 12, ortancası 12 ve tek tepe değeri 15'tir. Gruptaki en küçük sayı en çok kaç olabilir?
Çözüm. Sıralı değerler a ≤ b ≤ 12 ≤ d ≤ e olsun. Tepe değer 15, ortancadan büyük olduğu için d = e = 15'tir. Toplam 60 olduğundan a + b = 60 − 12 − 30 = 18'dir. Başka hiçbir değer iki kez geçemeyeceği için a ≠ b ve b ≠ 12 olmalıdır; a = b = 9 olsaydı 9 da iki kez geçerdi. a < b koşuluyla en büyük a değeri 8'dir ve b = 10 olur. Grup 8, 10, 12, 15, 15'tir.
Sık yapılan hatalar
- Tepe değerin sıralamadaki yerini belirlemeden bilinmeyenleri yerleştirmek.
- Bulunan değerlerle “tek tepe değer” koşulunun hâlâ sağlandığını kontrol etmemek.
- Uç değerli verilerde ortalamayı tipik değer saymak.
- Beş veride ortanca 3. değer, toplam 5·ortalama, açıklık e − a farkıdır.
- Birkaç büyük değer ortalamayı ortancanın üstüne çeker.
- En sık durum için tepe değeri, uç değerli verilerde ortancayı kullan.