Konu anlatımı
Ortanca, sıralanmış verilerin tam ortasındaki değerdir ve uç değerlerden az etkilendiği için birçok durumda ortalamadan daha iyi bir özettir. Bu alt başlıkta ortancayı bulmayı, frekans tablosunda ortancanın yerini belirlemeyi ve bilinmeyen içeren veri gruplarında ortanca kullanmayı göreceksin.
Tanım
Veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değere ortanca ya da medyan denir. Veri sayısı n tekse ortanca (n + 1)/2. sıradaki değerdir: 3, 5, 7, 8, 12 verilerinde ortanca 7'dir. n çiftse ortada iki değer kalır ve ortanca bu ikisinin ortalamasıdır: 3, 5, 7, 8, 12, 20 verilerinde ortanca (7 + 8)/2 = 7,5'tir. Ortanca bulunmadan önce veriler mutlaka sıralanmalıdır.
Frekans tablosunda ortanca
Frekans tablosunda önce ortancanın sırası belirlenir, sonra frekanslar küçük değerden başlanarak biriktirilir. 20 öğrencinin puanları 50 (3 kişi), 60 (5 kişi), 70 (8 kişi) ve 80 (4 kişi) ise ortanca 10. ve 11. değerlerin ortalamasıdır. İlk 3 değer 50, sonraki 5 değer 60 olduğundan 8. değere kadar gelinir; 9. değerden 16. değere kadar değerler 70'tir. 10. ve 11. değerler 70 olduğundan ortanca 70'tir.
Uç değerler ve bilinmeyenler
Gruba çok büyük bir değer eklemek ortalamayı belirgin biçimde artırır, ortancayı ise en fazla bir sıra kaydırır. 30, 32, 35, 36 ve 40 bin TL'lik maaşlara 300 bin TL'lik bir maaş eklenirse ortalama 34,6 binden yaklaşık 78,8 bine çıkar; ortanca ise 35 binden yalnızca 35,5 bine çıkar.
Bilinmeyen içeren gruplarda bilinmeyenin sıralamadaki yeri bilinmediği için durumlar ayrılır: bilinmeyenin en küçük, ortada ya da en büyük olduğu durumlar ayrı ayrı denenir ve bulunan değer varsayılan duruma uymuyorsa elenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sınavda 3 öğrenci 40, x öğrenci 50, 4 öğrenci 70 ve 2 öğrenci 90 puan almıştır. Puanların ortalaması 60 olduğuna göre ortanca kaçtır?
Çözüm. Ortalama koşulu: (120 + 50x + 280 + 180)/(9 + x) = 60. Düzenleyince 580 + 50x = 540 + 60x ve x = 4 bulunur. 13 puan vardır ve ortanca 7. değerdir. İlk 3 değer 40, sonraki 4 değer (4. değerden 7. değere kadar) 50'dir; ortanca 50'dir. Ortalamayı ortanca sanmak 60 cevabına götürür.
Örnek 2. Bir öğrencinin altı denemedeki netleri 40, 46, x, 50, 44 ve 52'dir. Netlerin ortalaması ortancasından 3 fazla olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Bilinen netler sıralanınca 40, 44, 46, 50, 52 olur ve toplamları 232'dir. x ≥ 50 ise ortadaki iki değer 46 ve 50, ortanca 48 olur; ortalama 51 olmalıdır: (232 + x)/6 = 51 ve x = 74. Bu değer x ≥ 50 varsayımına uyar. x'in 46 ile 50 arasında ya da 46'dan küçük olduğu durumlarda bulunan değerler varsayıma uymaz. Buna göre x = 74'tür.
Sık yapılan hatalar
- Verileri sıralamadan ortadaki değeri ortanca almak.
- Çift sayıda veride ortadaki iki değerden birini ortanca saymak.
- Frekans tablosunda ortancanın sırasını bulmak yerine frekansların ortancasını almak.
- Ortanca için önce sırala.
- n tekse (n + 1)/2. değer, n çiftse n/2. ve (n/2 + 1). değerlerin ortalaması ortancadır.
- Uç değerler ortancayı ortalamadan çok daha az etkiler.