Konu anlatımı
İki veri grubunun ortalamaları aynı olsa da biri ortalama çevresinde toplanmış, öbürü geniş bir aralığa dağılmış olabilir. Bu farkı yayılım ölçüleri gösterir. Bu alt başlıkta açıklığı ve standart sapmayı, standart sapmanın adım adım hesabını ve yorumunu göreceksin. Program çeyrekler açıklığına girmez ve standart sapmayı en fazla beş veriyle hesaplatır.
Açıklık
Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farka açıklık denir. 12, 18, 9, 25, 14 verilerinde açıklık 25 − 9 = 16'dır. Açıklığın hesabı kolaydır ama yalnızca iki uç değere bağlıdır; tek bir uç değer açıklığı çok büyütebilir ve ortadaki verilerin nasıl dağıldığı hakkında bilgi vermez.
Standart sapma
Standart sapma, verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösteren yayılım ölçüsüdür. Hesap dört adımda yapılır: önce aritmetik ortalama bulunur; her verinin ortalamadan farkı alınıp bu farkların kareleri toplanır; toplam veri sayısının bir eksiğine bölünür; sonucun karekökü alınır. Farkların kendileri toplanırsa sonuç her zaman 0 çıkar; bu yüzden kareleri alınır.
6, 8, 8, 12, 16 verilerinin ortalaması 50/5 = 10'dur. Farklar −4, −2, −2, 2 ve 6; kareleri 16, 4, 4, 4 ve 36, toplamları 64'tür. 64/4 = 16 olduğundan standart sapma √16 = 4 olur.
Yorum ve karşılaştırma
Standart sapma küçükse veriler ortalama çevresinde toplanmıştır, büyükse ortalamadan uzağa dağılmıştır. Bütün veriler eşitse standart sapma 0'dır. Not ortalamaları 70 olan iki sınıftan birinin standart sapması 4, öbürününki 15 ise birinci sınıfın notları birbirine daha yakındır; bu sınıf daha dengelidir. Standart sapma ve açıklık, verilerle aynı birimde ifade edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 4, 7 ve 10 verilerinin açıklığını ve standart sapmasını bulunuz.
Çözüm. Açıklık 10 − 4 = 6'dır. Ortalama 21/3 = 7'dir. Farklar −3, 0 ve 3; kareleri 9, 0 ve 9, toplamları 18'dir. Veri sayısının bir eksiği olan 2'ye bölünür: 18/2 = 9. Standart sapma √9 = 3'tür.
Örnek 2. A grubu 8, 9, 10, 11, 12; B grubu 2, 6, 10, 14, 18 verilerinden oluşuyor. İki grubun ortalamaları ve açıklıkları nedir? Hangi grubun standart sapması daha büyüktür ve kaç katıdır?
Çözüm. İki grubun da ortalaması 10'dur. Açıklıklar A için 4, B için 16'dır. A'da ortalamadan farklar −2, −1, 0, 1, 2; B'de −8, −4, 0, 4, 8'dir. B'nin her farkı A'dakinin 4 katı olduğu için kareler 16 katına, karekök ise 4 katına çıkar. B'nin standart sapması A'nınkinin 4 katıdır: A için √(10/4), B için √(160/4) = √40 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Farkları kare almadan toplamak; bu toplam her zaman 0'dır.
- Kareler toplamını veri sayısına bölmek; kareler toplamı veri sayısının bir eksiğine bölünür.
- Karekök almayı unutup standart sapma yerine ara sonucu cevap vermek.
- Açıklık = en büyük değer − en küçük değer.
- Standart sapma: farkların kareleri toplanır, veri sayısının bir eksiğine bölünür, karekökü alınır.
- Standart sapma küçükse veriler ortalama çevresinde toplanmıştır.