Konu anlatımı
Torbadan top, kart ya da bilye çekme soruları, örnek uzayın sayma yöntemleriyle kurulduğu en yaygın olasılık sorularıdır. Bu alt başlıkta aynı anda çekmeyi, art arda geri koyarak ve koymadan çekmeyi ve “farklı renk”, “aynı grup” gibi koşulları göreceksin.
Aynı anda çekme
Torbadan aynı anda birden çok top çekildiğinde toplar arasında sıra yoktur ve örnek uzay kombinasyonla sayılır. 4 kırmızı ve 6 beyaz toptan aynı anda 2 top çekildiğinde C(10, 2) = 45 eş olası çıktı vardır. İkisinin de kırmızı olması C(4, 2) = 6, birinin kırmızı birinin beyaz olması 4·6 = 24 çıktıyla gerçekleşir. Olasılıklar sırasıyla 6/45 = 2/15 ve 24/45 = 8/15 olur.
Art arda çekme
Toplar art arda çekilirse sıralı çıktılar sayılır. Aynı torbadan geri koymadan 2 top çekilirse 10·9 = 90 sıralı çıktı vardır; “birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olması” 4·6 = 24 çıktıyla gerçekleşir ve olasılık 24/90 = 4/15 olur. Sıra önemsenmeden “bir kırmızı ve bir beyaz” isteniyorsa kırmızı-beyaz ve beyaz-kırmızı sıraları birlikte sayılır: 48/90 = 8/15. Bu sonuç aynı anda çekmeyle bulunan olasılığa eşittir.
Her çekilişten sonra top geri konursa torba her çekilişte aynı kalır ve 10·10 = 100 sıralı çıktı oluşur. “İki topun da kırmızı olması” bu durumda 4·4 = 16 çıktıyla gerçekleşir ve olasılık 16/100 = 4/25 olur. Geri koymadan çekilişte aynı olayın olasılığı 4·3/90 = 2/15'tir.
Gruplardan çekiliş ve programın sınırı
Toplar renk, makine ya da sınıf gibi gruplara ayrılmışsa “iki topun farklı gruptan olması” olasılığı çoğu zaman tümleyenden bulunur: 1 − (aynı gruptan olma olasılığı). Aynı gruptan olma durumu, her grup için ayrı kombinasyon hesaplanıp toplanarak sayılır.
“İkinci top beyaz olduğu bilindiğine göre” gibi bir bilgiyle sorulan sorular koşullu olasılık konusudur ve 11. sınıf programında yer alır; bu sayfanın kapsamı dışındadır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir kutudaki kusurlu parçaların 3'ü K makinesinden, 4'ü L makinesinden, 5'i M makinesinden gelmiştir. Kutudan aynı anda 2 parça alınıyor. Parçaların farklı makinelerden gelmiş olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzay C(12, 2) = 66 elemanlıdır. Aynı makineden gelme durumları C(3, 2) + C(4, 2) + C(5, 2) = 3 + 6 + 10 = 19'dur. Farklı makinelerden gelme olasılığı 1 − 19/66 = 47/66'dır. Doğrudan sayım da aynı sonucu verir: 3·4 + 3·5 + 4·5 = 47.
Örnek 2. Bir torbada 1'den 6'ya kadar numaralanmış 6 kart vardır. Geri konmadan art arda 2 kart çekiliyor ve kartlar çekiliş sırasıyla yan yana yazılarak iki basamaklı bir sayı oluşturuluyor. Oluşan sayının 4'e bölünme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Oluşabilecek sayılar 6·5 = 30 tanedir. 4 ile bölünme için iki basamaklı sayının kendisine bakılır; rakamları farklı ve 1 ile 6 arasında olan 4'ün katları 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56 ve 64'tür. Olasılık 8/30 = 4/15'tir.
Sık yapılan hatalar
- Aynı anda çekişte paydayı sıralı, payı sırasız saymak.
- Geri koymadan çekişte ikinci çekilişte torbanın küçüldüğünü unutmak.
- “Bir kırmızı bir beyaz” isteniyorken art arda çekişte iki sıradan yalnızca birini saymak.
- Aynı anda çekiş kombinasyonla, art arda çekiş sıralı sayımla hesaplanır.
- Geri koyarak çekişte torba değişmez, koymadan çekişte her adımda bir top eksilir.
- Farklı gruptan olma = 1 − aynı gruptan olma.