Konu anlatımı
Zar ve para atma soruları, örnek uzayı düzenli biçimde kurmayı öğrenmek için en iyi örneklerdir. Bu alt başlıkta iki zar atışının tablosunu, toplam ve çarpımla ilgili olayları ve madeni paralarla ilgili olasılıkları göreceksin.
İki zarın tablosu
İki zar atıldığında birinci zar için 6, ikinci zar için 6 çıktı olduğundan 6·6 = 36 eş olası sıralı çıktı vardır. Zarlar özdeş görünse bile (2, 5) ile (5, 2) farklı çıktılardır; zarları farklı renklerde düşünmek bu ayrımı kolaylaştırır. Satırları birinci zar, sütunları ikinci zar olan 6 × 6'lık bir tablo kurarak olayları kolayca sayabilirsin.
Toplam, fark ve çarpım
Toplamın alabileceği değerler 2'den 12'ye kadardır ama eş olası değildir. Toplam 7 en sık gelen değerdir: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) ve (6, 1) olmak üzere 6 çıktı vardır ve olasılık 6/36 = 1/6 olur. Toplam 2 ya da 12 için yalnızca birer çıktı vardır; toplam 7'ye yaklaştıkça çıktı sayısı artar.
Çarpım soruları için de tablo kullanılır. Çarpımın tek olması için iki zarın da tek gelmesi gerekir: 3·3 = 9 çıktı ve olasılık 9/36 = 1/4. Farkın mutlak değeri 2 olan çıktılar (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6) ve bunların ters sıralılarıdır; 8 tanedir.
Madeni paralar
Bir madeni para n kez atıldığında ya da n para birlikte atıldığında 2ⁿ eş olası çıktı vardır. Tam k kez yazı gelmesi, n atıştan yazı gelecek k tanesinin seçilmesiyle belirlendiği için C(n, k) çıktıyla gerçekleşir. 4 atışta tam 2 yazı gelme olasılığı C(4, 2)/16 = 6/16 = 3/8'dir. “En az bir yazı” için tümleyen kullanılır: olasılık 1 − 1/2ⁿ olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki zar atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların çarpımının 3'ün katı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Tümleyeni sayarız: çarpımın 3'ün katı olmaması için iki zarın da 3'ün katı olmayan 1, 2, 4 ya da 5 gelmesi gerekir; 4·4 = 16 çıktı. İstenen olasılık 1 − 16/36 = 20/36 = 5/9'dur.
Örnek 2. İki zar atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların birbirinden farklı ve toplamlarının çift olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Toplamın çift olması için iki sayı da tek ya da iki sayı da çift olmalıdır: 3·3 + 3·3 = 18 çıktı. Bunların arasında iki sayının eşit olduğu (1, 1), (2, 2), ..., (6, 6) çıktıları vardır ve koşulu bozar; 6 tanedir. Uygun çıktılar 18 − 6 = 12 olur ve olasılık 12/36 = 1/3'tür.
Örnek 3. Hilesiz bir madeni para 5 kez atılıyor. En az 4 kez tura gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzayda 2⁵ = 32 eş olası çıktı vardır. Tam 4 tura C(5, 4) = 5, tam 5 tura C(5, 5) = 1 çıktıyla gerçekleşir. Olasılık (5 + 1)/32 = 6/32 = 3/16'dır.
Sık yapılan hatalar
- İki zarda (2, 5) ile (5, 2) çıktılarını tek çıktı saymak.
- Toplamların 2'den 12'ye kadar eşit şanslı olduğunu sanmak.
- Para atışlarında tam k yazı olasılığını 1/2ⁿ sanmak; bu olayın C(n, k) çıktısı vardır.
- İki zarda 36 eş olası sıralı çıktı vardır.
- İki zarda en olası toplam 7'dir.
- n para atışında 2ⁿ çıktı vardır ve tam k yazı C(n, k) çıktıyla gelir.