Konu anlatımı
Sayılarla kurulan olasılık sorularında örnek uzayı saymak çoğu zaman kolaydır; zorluk, istenen çıktıları düzenli saymaktadır. Bu alt başlıkta tek-çift kurallarını, çarpımın bölünebilmesini ve rakamlarla oluşturulan sayıların bölünebilme olasılığını göreceksin.
Tek ve çift
İki sayının toplamı, sayılar aynı türdeyse (ikisi de tek ya da ikisi de çift) çift, farklı türdeyse tektir. Çarpım ise yalnızca iki sayı da tekse tektir; en az bir çarpan çiftse çarpım çifttir. Üç sayının toplamının tek olması için tek sayıların sayısı 1 ya da 3 olmalıdır.
Bu kurallar istenen çıktıları gruplar hâlinde saymayı sağlar. 1'den 8'e kadar numaralanmış 8 karttan aynı anda 2 kart çekildiğinde toplamın çift olması için ya iki tek kart, C(4, 2) = 6, ya da iki çift kart, C(4, 2) = 6, çekilmelidir. Olasılık 12/28 = 3/7 olur.
Çarpımın bölünebilmesi
Çarpımın 3 gibi bir asal sayıya bölünmesi için çarpanlardan en az birinin o sayının katı olması yeter. Bu yüzden tümleyen kullanılır: hiçbir çarpanın 3'ün katı olmadığı durumlar sayılıp çıkarılır. Çarpımın 4'e bölünmesi gibi asal olmayan sayılarda ise durumlar ayrılır: çarpanlardan biri 4'ün katı olabilir ya da iki çarpan da 4'ün katı olmayan çift sayılar olabilir.
Rakamlarla oluşturulan sayılar
Rakamlarla sayı oluşturulup bölünebilmesi sorulduğunda örnek uzay çarpma yöntemiyle, istenen çıktılar bölünebilme kurallarıyla sayılır: 3 ile bölünmede rakamlar toplamına, 4 ile bölünmede son iki basamağa, 5 ile bölünmede son basamağa bakılır.
1'den 6'ya kadar rakamlarla rakamları farklı iki basamaklı 30 sayı yazılır. 3 ile bölünenler, rakamları toplamı 3'ün katı olan {1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {3, 6} ve {4, 5} rakam ikilileriyle yazılır; her ikili iki sayı verdiği için 10 sayı vardır. Olasılık 10/30 = 1/3 olur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 1'den 9'a kadar numaralanmış 9 karttan aynı anda 2 kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzay C(9, 2) = 36 elemanlıdır. Çarpım yalnızca iki sayı da tekse tektir; 5 tek sayıdan 2'si C(5, 2) = 10 biçimde seçilir. Çarpımın çift olma olasılığı 1 − 10/36 = 26/36 = 13/18'dir.
Örnek 2. 1'den 7'ye kadar numaralanmış 7 karttan aynı anda 3 kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların toplamının çift olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. 4 tek (1, 3, 5, 7) ve 3 çift (2, 4, 6) sayı vardır; örnek uzay C(7, 3) = 35 elemanlıdır. Toplamın çift olması için tek sayıların sayısı 0 ya da 2 olmalıdır. Hiç tek yoksa 3 çift kart seçilir: 1 yol. İki tek ve bir çift için C(4, 2)·3 = 18 yol vardır. Olasılık 19/35'tir.
Örnek 3. İki zar atılıyor. Üst yüzlere gelen sayıların çarpımının 4'ün katı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. 36 sıralı çıktı vardır. Zarlardan en az biri 4 gelirse çarpım 4'ün katıdır: 6 + 6 − 1 = 11 çıktı. Hiçbiri 4 değilken çarpımın 4'ün katı olması için iki zar da 2 ya da 6 gelmelidir: 2·2 = 4 çıktı. Toplam 15 çıktı vardır ve olasılık 15/36 = 5/12'dir.
Sık yapılan hatalar
- Toplamın çift olması için yalnızca iki çift sayıyı saymak; iki tek sayının toplamı da çifttir.
- Çarpımın 4'e bölünmesi için çarpanlardan birinin 4'ün katı olması gerektiğini sanmak; iki çift çarpan da yeterlidir.
- Rakamları farklı olma koşulunu örnek uzayda kullanıp istenen çıktıları sayarken unutmak.
- Aynı türden iki sayının toplamı çift, farklı türden iki sayının toplamı tektir.
- Çarpım yalnızca bütün çarpanlar tekse tektir.
- Asal bir sayıya bölünmede tümleyeni kullan: hiçbir çarpan o sayının katı değilse çarpım da değildir.