Konu anlatımı
Her deneyde çıktılar eşit şanslı değildir: hileli bir zarda bazı yüzler daha sık gelir, dilimleri farklı büyüklükteki bir çarkta büyük dilim daha sık kazanır. Bu alt başlıkta böyle durumlarda çıktıların olasılıklarını belirlemeyi ve bir olayın olasılığını hesaplamayı göreceksin.
Çıktı olasılıkları
Çıktılar eş olası değilse her çıktıya bir olasılık verilir. Bu olasılıkların her biri 0 ile 1 arasındadır ve hepsinin toplamı 1'dir. Hileli bir zarda 6 gelme olasılığı öbür yüzlerin her birinin 3 katıysa öbür yüzlerin olasılığına p dersek 5p + 3p = 8p = 1 ve p = 1/8 bulunur. 6 gelme olasılığı 3/8 olur.
Olayın olasılığı
Bir olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıklarının toplamıdır. Aynı hileli zarda çift sayı gelme olasılığı P(2) + P(4) + P(6) = 1/8 + 1/8 + 3/8 = 5/8 olur. Hilesiz bir zarda bu olasılık 1/2 olurdu; hile olayın olasılığını değiştirmiştir. Tümleyen ve ayrık olay kuralları eş olası olmayan durumlarda da aynen geçerlidir.
Çarklar ve eş parçalara bölme
Dilimleri farklı büyüklükteki bir çarkta bir dilimde durma olasılığı, dilimin açısının 360°'ye oranıdır; 90°'lik bir dilimde durma olasılığı 1/4'tür. Bir çark 8 eş dilime ayrılıp dilimlere 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 sayıları yazılmışsa 8 eş olası çıktı vardır, ama sayılar eş olası değildir: 3 gelme olasılığı 3/8, 1 gelme olasılığı 1/8 olur.
Böyle sorularda eş dilimleri çıktı olarak almak, hesabı yeniden eş olası duruma döndürür. Çark iki kez çevrilirse 8·8 = 64 eş olası sıralı çıktı vardır ve olaylar bu çıktılar üzerinden sayılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Hileli bir zarda çift sayıların her birinin gelme olasılığı, tek sayıların her birinin gelme olasılığının 2 katıdır. Zar bir kez atıldığında 3'ten büyük bir sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Tek yüzlerin her birinin olasılığına p dersek çift yüzlerin her biri 2p olur. Toplam 3p + 3·2p = 9p = 1 olduğundan p = 1/9'dur. 3'ten büyük sayılar 4, 5 ve 6'dır: 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9. Hilesiz bir zarda bu olasılık 1/2 olurdu.
Örnek 2. 8 eş dilimli bir çarkın dilimlerinde 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 sayıları yazılıdır. Çark iki kez çevrilip gelen sayılar toplanıyor. Toplamın 6 olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. İki çevirişte 8·8 = 64 eş olası sıralı çıktı vardır. Toplam 6 için gelen sayılar (2, 4), (4, 2) ya da (3, 3) olmalıdır. (2, 4) için 2·2 = 4, (4, 2) için 2·2 = 4, (3, 3) için 3·3 = 9 dilim çifti vardır. Olasılık (4 + 4 + 9)/64 = 17/64'tür.
Sık yapılan hatalar
- Hileli zarda bütün yüzleri eşit şanslı saymak.
- Çıktı olasılıklarının toplamının 1 olduğunu kullanmayı unutmak.
- Eş dilimleri değil, dilimlerde yazan farklı sayıları eş olası çıktı saymak.
- Çıktı olasılıklarının toplamı 1'dir.
- Bir olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıklarının toplamıdır.
- Mümkünse deneyi eş olası parçalara bölerek say.