Konu anlatımı
Olasılık hesabına başlamadan önce neyin sayılacağını açıkça belirlemek gerekir. Bu alt başlıkta deney, çıktı, örnek uzay ve olay kavramlarını, olaylar arasındaki ilişkileri ve bu kavramların küme diliyle nasıl ifade edildiğini göreceksin.
Deney ve çıktı
Aynı koşullarda tekrarlanabilen ve sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen işleme deney denir: bir zar atmak, bir torbadan top çekmek ya da bir çarkı çevirmek gibi. Deneyin her olası sonucuna çıktı denir. Bir madeni para atıldığında çıktılar yazı (Y) ve tura (T), iki para atıldığında YY, YT, TY ve TT olur. YT ile TY farklı çıktılardır, çünkü hangi paranın yazı geldiği farklıdır.
Çıktıların gerçekleşme şansları eşitse bunlara eş olası çıktılar denir; hilesiz bir zarın altı yüzü eş olasıdır. Bir yüzü ağırlaştırılmış bir zarda ya da dilimleri farklı büyüklükteki bir çarkta çıktılar eş olası değildir.
Örnek uzay ve olay
Bir deneyin bütün çıktılarının kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her alt kümesine olay denir. Bir zar atıldığında E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur; “asal sayı gelmesi” olayı A = {2, 3, 5}, “6'dan büyük sayı gelmesi” olayı ise boş kümedir. Örnek uzayın kendisine kesin olay, boş kümeye imkânsız olay denir. n çıktılı bir örnek uzayda 2ⁿ olay vardır, çünkü her alt küme bir olaydır.
Olaylar arasındaki ilişkiler
A olayının gerçekleşmemesi, A'nın tümleyeni olan A' olayıdır: zar örneğinde asal sayı gelmemesi A' = {1, 4, 6} olur. A ∪ B olayı A ile B'den en az birinin, A ∩ B olayı ise ikisinin birlikte gerçekleşmesidir.
Kesişimi boş olan olaylara ayrık olaylar denir; ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez. Zarda “1 gelmesi” ile “çift sayı gelmesi” ayrıktır. “Asal sayı gelmesi” ile “çift sayı gelmesi” ise 2 ortak çıktısı nedeniyle ayrık değildir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki madeni para ve bir zar birlikte atılıyor. Örnek uzay kaç elemanlıdır? “İki paranın da yazı, zarın çift gelmesi” olayı kaç elemanlıdır?
Çözüm. Çarpma yöntemiyle birinci para için 2, ikinci para için 2, zar için 6 çıktı vardır; örnek uzay 2·2·6 = 24 elemanlıdır. İstenen olayda paralar YY olmalı, zar 2, 4 ya da 6 gelmelidir; olay 1·1·3 = 3 elemanlıdır: (Y, Y, 2), (Y, Y, 4) ve (Y, Y, 6).
Örnek 2. 1'den 10'a kadar numaralanmış 10 karttan biri çekiliyor. A: “asal sayı gelmesi”, B: “çift sayı gelmesi” olaylarıdır. A ∩ B, A ∪ B ve A' olaylarını yazınız. A ile B ayrık mıdır?
Çözüm. A = {2, 3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8, 10}'dur. A ∩ B = {2}, A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} ve A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10} olur. Kesişim boş olmadığı için A ile B ayrık değildir; 2 hem asal hem çifttir.
Sık yapılan hatalar
- Sıralı çıktıları ayırmamak: YT ile TY'yi aynı çıktı saymak.
- Çıktı ile olayı karıştırmak; olay bir çıktılar kümesidir ve birden çok çıktı içerebilir.
- Ortak çıktısı olan olayları ayrık sanmak.
- Örnek uzay bütün çıktıların kümesi, olay onun bir alt kümesidir.
- E kesin olay, ∅ imkânsız olaydır.
- A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık olaylardır.