Konu anlatımı
“A ya da B” biçiminde sorulan olayların olasılığı, A ile B'nin ortak çıktısı olup olmamasına göre farklı hesaplanır. Bu alt başlıkta ayrık ve ayrık olmayan olaylarda birleşimin olasılığını ve bu kuralın bölünebilme sorularında kullanımını göreceksin.
Ayrık olaylar
Ortak çıktısı olmayan, yani aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olaylar denir ve A ∩ B = ∅ olur. Ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B) yazılır. Bir zar atıldığında “1 gelmesi” ile “5'ten büyük gelmesi” ayrıktır ve birleşimlerinin olasılığı 1/6 + 1/6 = 1/3 olur. Bir olay ile tümleyeni her zaman ayrıktır ve birleşimleri kesin olaydır; P(A') = 1 − P(A) kuralı buradan gelir.
Ayrık olmayan olaylar
Ortak çıktısı olan olaylarda olasılıklar doğrudan toplanırsa ortak çıktılar iki kez sayılır. Bu yüzden P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) yazılır; bu, kümelerdeki s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) bağıntısının olasılıktaki karşılığıdır. Bir zar atıldığında “çift sayı” ile “asal sayı” olaylarının birleşiminin olasılığı 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6 olur; ortak çıktı 2'dir.
Bölünebilme ile olasılık
1'den n'ye kadar numaralanmış kartlardan kart çekme sorularında katları saymak için bölme kullanılır. 1'den 30'a kadar 2'nin katı 15, 3'ün katı 10, ikisinin birden katı olan 6'nın katı 5 tanedir. Bir kartın 2'nin ya da 3'ün katı olma olasılığı (15 + 10 − 5)/30 = 20/30 = 2/3'tür.
“Ama 5'in katı olmasın” gibi ek bir koşul varsa bulunan sayılardan 5'in katı olanlar ayrıca çıkarılır. Ortak katları bulmak için iki sayının EKOK'unun katları sayılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 1'den 50'ye kadar numaralanmış 50 karttan biri çekiliyor. Karttaki sayının 4'ün ya da 6'nın katı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. 4'ün katları 12, 6'nın katları 8 tanedir. Hem 4'ün hem 6'nın katı olanlar EKOK(4, 6) = 12'nin katlarıdır: 12, 24, 36 ve 48 olmak üzere 4 tane. Uygun çıktılar 12 + 8 − 4 = 16 tanedir. Olasılık 16/50 = 8/25'tir.
Örnek 2. 30 kişilik bir sınıfta 18 öğrenci futbol, 12 öğrenci basketbol oynuyor ve 5 öğrenci iki sporu da oynuyor. Rastgele seçilen bir öğrencinin bu sporlardan en az birini oynama olasılığı kaçtır? Hiçbirini oynamama olasılığı kaçtır?
Çözüm. Futbol oynayanlar F, basketbol oynayanlar B olayı olsun. P(F ∪ B) = 18/30 + 12/30 − 5/30 = 25/30 = 5/6'dır. Hiçbirini oynamama, en az birini oynamanın tümleyenidir: 1 − 5/6 = 1/6. Bu, sınıftaki 5 öğrencinin iki sporu da oynamadığını gösterir.
Sık yapılan hatalar
- Ayrık olmayan olaylarda ortak çıktıları çıkarmadan olasılıkları toplamak.
- Ayrık olmayı tümleyen olmakla karıştırmak; ayrık iki olayın birleşimi örnek uzayın tamamı olmayabilir.
- Katları sayarken ortak katları, yani EKOK'un katlarını bulmayı unutmak.
- Ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Genel kural: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- a'nın ya da b'nin katları sayılırken EKOK(a, b)'nin katları bir kez çıkarılır.