Konu anlatımı
Çıktıların eşit şanslı olduğu deneylerde olasılık, istenen çıktıları sayıp bütün çıktılara oranlayarak bulunur. Bu alt başlıkta bu tanımı, olasılığın alabileceği değerleri, sayma yöntemleriyle olasılık hesabını ve tümleyen olayın olasılığını göreceksin.
Klasik tanım
E örnek uzayındaki çıktılar eş olasıysa A olayının olasılığı P(A) = s(A)/s(E) olur. Bir torbadaki 3 kırmızı ve 5 mavi bilyeden rastgele biri çekildiğinde kırmızı gelme olasılığı 3/8'dir. Bu tanımı Laplace sistemli biçimde ortaya koymuştur.
Tanımın işe yaraması için çıktıların gerçekten eşit şanslı olması gerekir. “Zar ya 6 gelir ya gelmez, o hâlde 6 gelme olasılığı 1/2'dir.” akıl yürütmesi bu yüzden yanlıştır: “6 gelmez” çıktısı aslında beş eş olası çıktıdan oluşur.
Olasılığın sınırları ve tümleyen
0 ≤ s(A) ≤ s(E) olduğundan her olay için 0 ≤ P(A) ≤ 1 olur. Kesin olayın olasılığı P(E) = 1, imkânsız olayın olasılığı P(∅) = 0'dır. A ile A' birlikte bütün örnek uzayı oluşturduğu ve ortak çıktıları olmadığı için P(A) + P(A') = 1, yani P(A') = 1 − P(A) olur. “En az bir” içeren olaylarda tümleyen “hiç olmaması” olayıdır ve çoğu zaman daha kolay sayılır.
Sayma ile olasılık
Örnek uzay büyükse çıktılar tek tek yazılmaz; permütasyon ve kombinasyonla sayılır. 4 kız ve 6 erkek öğrenciden rastgele 3 kişi seçildiğinde örnek uzay C(10, 3) = 120 elemanlıdır. Seçilenlerin üçünün de kız olması C(4, 3) = 4 çıktıyla gerçekleşir ve olasılık 4/120 = 1/30 olur.
Pay ve payda aynı yolla sayılmalıdır: paydada kombinasyon kullanıldıysa payda da kombinasyon, paydada sıralı sayım yapıldıysa payda da sıralı sayım yapılır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. ELMA sözcüğünün harfleri rastgele bir sıraya diziliyor. Oluşan dizinin E ile başlayıp A ile bitme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Dört farklı harf 4! = 24 biçimde dizilir ve bu diziler eş olasıdır. E başa, A sona sabitlenirse ortadaki iki yere L ve M 2! = 2 biçimde yerleşir. Olasılık 2/24 = 1/12'dir.
Örnek 2. Bir sınıftaki 12 öğrencinin 5'i gözlüklüdür. Rastgele 2 öğrenci seçiliyor. Seçilenlerden en az birinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır?
Çözüm. Örnek uzay C(12, 2) = 66 elemanlıdır. Tümleyen olay, iki öğrencinin de gözlüksüz olmasıdır: 7 gözlüksüzden 2 kişi C(7, 2) = 21 biçimde seçilir. İstenen olasılık 1 − 21/66 = 45/66 = 15/22'dir.
Örnek 3. 1, 2, 3, 4 ve 5 rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayılar yazılıyor ve bunlardan biri rastgele seçiliyor. Seçilen sayının 5 ile bölünme olasılığı kaçtır?
Çözüm. Yazılabilecek sayılar 5·4·3 = 60 tanedir. 5 ile bölünmesi için son basamak 5 olmalıdır; kalan iki basamağa 4·3 = 12 biçimde rakam yazılır. Olasılık 12/60 = 1/5'tir. Son basamağın beş rakamdan biri olduğunu ve hepsinin eşit şanslı olduğunu düşünerek de 1/5 sonucuna ulaşabilirsin.
Sık yapılan hatalar
- Eş olası olmayan çıktıları eş olası saymak.
- Pay ile paydayı farklı sayma yollarıyla hesaplamak.
- “En az bir” içeren olaylarda durumları tek tek sayarken bazılarını iki kez saymak.
- Çıktılar eş olasıysa P(A) = s(A)/s(E).
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ve P(A') = 1 − P(A).
- Büyük örnek uzaylarda çıktıları permütasyon ya da kombinasyonla say.