Konu anlatımı
Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik, bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 1 olduğu eşitsizliktir: 3x − 7 ≥ 2 gibi. Çözümü, eşitsizliği sağlayan bütün sayıların kümesidir. Bu alt başlıkta bu eşitsizlikleri denklem çözer gibi adım adım çözmeyi ve sonucu aralıkla göstermeyi öğreneceksin.
Çözüm adımları
Önce varsa paydalar eşitlenip kesirlerden kurtulunur, sonra parantezler açılır. Bilinmeyenli terimler bir tarafa, sabitler öbür tarafa toplanır. En son bilinmeyenin katsayısına bölünür; katsayı negatifse eşitsizliğin yönü çevrilir.
Örneğin 2(x − 3) < 5x + 6 için parantez açılınca 2x − 6 < 5x + 6 olur. Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa toplarsak −3x < 12 bulunur. −3'e bölünce yön değişir: x > −4. Çözüm kümesi (−4, ∞) aralığıdır.
Kesirli eşitsizlikler
Paydalar sayıysa eşitsizliğin iki tarafı paydaların EKOK'u ile çarpılır; bu sayı pozitif olduğu için yön değişmez. (x + 1)/3 − (x − 2)/4 ≤ 1 eşitsizliğinde 12 ile çarpınca 4(x + 1) − 3(x − 2) ≤ 12 olur. Parantezler açılınca 4x + 4 − 3x + 6 ≤ 12, yani x + 10 ≤ 12 ve x ≤ 2 bulunur.
Paydada bilinmeyen varsa iki tarafı bu ifadeyle çarpamazsın, çünkü işaretini bilmiyorsun; önce bilinmeyenin işaretini belirlemen gerekir. Örneğin x pozitif olmak üzere 1/x > 2 eşitsizliğinde iki tarafı pozitif x ile çarpınca 1 > 2x ve x < 1/2 bulunur; x pozitif olduğu için çözüm (0, 1/2) olur.
Özel durumlar ve ek koşullar
Bilinmeyenli terimler sadeleşirse eşitsizlik ya her zaman doğru ya da hiçbir zaman doğru olmayan bir ifadeye dönüşür. 2x + 3 > 2x − 1 eşitsizliği 3 > −1 biçimine iner ve her x için doğrudur; çözüm kümesi R'dir. 2x + 3 < 2x − 1 ise 3 < −1 biçimine iner ve hiçbir x için doğru değildir; çözüm kümesi boş kümedir.
Soruda “en büyük tam sayı” ya da “pozitif tam sayı çözümleri” gibi ek koşullar varsa önce gerçek sayılardaki çözümü aralıkla yazar, sonra koşula uyan sayıları seçersin.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (2x − 1)/3 − x/2 ≥ (x − 4)/4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm. Paydaların EKOK'u 12'dir; iki tarafı 12 ile çarparız: 4(2x − 1) − 6x ≥ 3(x − 4). Parantezleri açarız: 8x − 4 − 6x ≥ 3x − 12, yani 2x − 4 ≥ 3x − 12. Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa toplarız: −x ≥ −8. −1 ile çarpınca yön değişir: x ≤ 8. Çözüm kümesi (−∞, 8] aralığıdır.
Örnek 2. x pozitif bir tam sayı olmak üzere 5(x − 2) ≤ 2x + 11 eşitsizliğini sağlayan kaç x değeri vardır?
Çözüm. Parantezi açarız: 5x − 10 ≤ 2x + 11. Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa toplarız: 3x ≤ 21. Pozitif 3'e bölünce yön değişmez: x ≤ 7. x pozitif tam sayı olduğu için değerler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7'dir; 7 tane x değeri vardır.
Sık yapılan hatalar
- Negatif katsayıya bölerken yönü çevirmemek.
- Kesirli eşitsizlikte paydalarla çarparken eksi işaretini parantezin içine dağıtmamak: −3(x − 2) yerine −3x − 6 yazmak gibi.
- İşareti bilinmeyen bir ifadeyle iki tarafı çarpmak.
- Paydalardan kurtul, parantezi aç, bilinmeyenleri bir tarafa topla, katsayıya böl.
- Negatif katsayıya bölünce yön değişir.
- Bilinmeyen sadeleşirse çözüm kümesi ya R ya da boş kümedir.