Konu anlatımı
Eşitsizliklerle işlem yapmak denklemlerle işlem yapmaya çok benzer; tek fark, bazı işlemlerin eşitsizliğin yönünü değiştirmesidir. Bu alt başlıkta hangi işlemin yönü koruduğunu, hangisinin değiştirdiğini ve bunun nedenini göreceksin.
Toplama ve çıkarma yönü korur
a < b ise iki tarafa aynı c sayısını eklemek ya da çıkarmak iki sayıyı sayı doğrusunda aynı miktarda kaydırır; aralarındaki sıra değişmez: a + c < b + c ve a − c < b − c. Örneğin x − 4 < 7 eşitsizliğinin iki tarafına 4 eklenince x < 11 bulunur.
Çarpma ve bölmede işaretin rolü
a < b ve c pozitifse a·c < b·c olur; pozitif bir sayıyla çarpmak sayıları aynı oranda büyütür ya da küçültür, sıra değişmez. c negatifse a·c > b·c olur. Nedeni, negatif sayıyla çarpmanın sayı doğrusunu 0 noktası etrafında ters çevirmesidir: 2 < 5 iken (−1) ile çarpınca −2 ve −5 elde edilir ve −2, −5'in sağındadır, yani −2 > −5.
Bölme de aynı kurala uyar, çünkü c'ye bölmek 1/c ile çarpmaktır ve 1/c, c ile aynı işaretlidir. Çarptığın sayının işaretini bilmiyorsan, örneğin bir harf ise, eşitsizliği o sayıyla çarpamazsın; önce işaretini belirlemen gerekir.
Geçişme ve taraf tarafa işlemler
a < b ve b < c ise a < c'dir; bu özelliğe geçişme denir ve sıralama sorularında zinciri tamamlamaya yarar. Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir: a < b ve c < d ise a + c < b + d.
Taraf tarafa çıkarma ise yapılamaz. 1 < 5 ve 0 < 10 doğrudur ama taraf tarafa çıkarınca 1 − 0 < 5 − 10, yani 1 < −5 gibi yanlış bir sonuç çıkar. Fark gerekiyorsa önce ikinci eşitsizlik −1 ile çarpılıp yönü çevrilir, sonra toplama yapılır. Taraf tarafa çarpma da yalnızca bütün taraflar pozitifse güvenlidir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a < b < 0 olduğuna göre I. a² > b², II. 1/a > 1/b, III. a·b > b² ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Çözüm. a < b eşitsizliğini negatif b ile çarparız, yön değişir: a·b > b². Bu III'tür ve doğrudur. Aynı eşitsizliği negatif a ile çarpınca a² > a·b olur; geçişmeyle a² > a·b > b², yani I de doğrudur. a ile b aynı işaretli olduğu için a·b pozitiftir; a < b eşitsizliğini pozitif a·b'ye bölünce yön değişmez: 1/b < 1/a. Bu II'dir ve doğrudur. Örnek: a = −4, b = −2 için 16 > 4, −1/4 > −1/2 ve 8 > 4. Üçü de doğrudur.
Örnek 2. x < 3 olduğuna göre −2x + 5 ifadesinin alabileceği değerler hangi aralıktadır?
Çözüm. x < 3 eşitsizliğini −2 ile çarparız; negatif sayıyla çarptığımız için yön değişir: −2x > −6. İki tarafa 5 ekleyince yön değişmez: −2x + 5 > −1. İfadenin değerleri (−1, ∞) aralığındadır.
Sık yapılan hatalar
- Negatif sayıyla çarpınca ya da bölünce yönü çevirmemek.
- İşareti bilinmeyen bir harfle eşitsizliği çarpmak ya da bölmek.
- Aynı yönlü eşitsizlikleri taraf tarafa çıkarmak.
- Toplama ve çıkarma yönü hiç değiştirmez.
- Pozitif sayıyla çarpma-bölme yönü korur; negatif sayıyla çarpma-bölme yönü çevirir.
- Aynı yönlü eşitsizlikler toplanabilir, çıkarılamaz.