Konu anlatımı
Bir sayının işaretini bilmek; eşitsizlik, mutlak değer ve üslü sayı sorularının ilk adımıdır. Bu alt başlıkta çarpma ve bölmede işaret kuralını, kuvvetlerin işarete etkisini ve birkaç ifadenin işaretinden tek tek sayıların işaretini bulmayı öğreneceksin.
Tanım ve sıfırın yeri
Sayı doğrusunda 0'ın sağındaki sayılar pozitif, solundakiler negatiftir. 0 ne pozitif ne negatiftir. Bir sayının önündeki eksi işareti o sayının negatif olduğunu göstermez; −a ifadesi, a negatifse pozitif bir sayıdır. Örneğin a = −4 ise −a = 4 olur.
Toplama ve çıkarmada sonucun işareti sayıların büyüklüğüne bağlıdır: −7 + 3 = −4, −3 + 7 = 4. Çarpma ve bölmede ise yalnızca işaretler belirleyicidir; büyüklük sonucun işaretini değiştirmez.
Çarpma ve bölmede işaret kuralı
Aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitif, farklı işaretli iki sayınınki negatiftir. Çok sayıda çarpan varsa negatif çarpanları say: sayıları çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. Örneğin (−2)·3·(−1)·(−5) çarpımında üç negatif çarpan vardır ve sonuç −30'dur.
Bölme, işaret bakımından çarpma gibi davranır: b ≠ 0 olmak üzere a/b ile a·b her zaman aynı işaretlidir. Bu, kesirli ifadelerin işaretini bir çarpımın işaretiymiş gibi incelemeni sağlar.
Kuvvetlerde işaret
Pozitif bir sayının her kuvveti pozitiftir. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−3)² = 9, (−3)³ = −27. Bu yüzden sıfırdan farklı her a için a² pozitiftir ve a² çarpanı bir çarpımın işaretini hiç değiştirmez.
Parantezin yerine dikkat et: −3² ifadesinde üs yalnız 3'e aittir ve sonuç −9'dur; (−3)² ise 9'dur. Benzer biçimde −a² ifadesi her zaman 0'a eşit ya da 0'dan küçüktür.
İşaret bulma soruları
Birden çok bilgi verildiğinde, çift kuvvet içeren bilgiden başla; çünkü çift kuvvetli çarpan pozitiftir ve geri kalan çarpanın işaretini doğrudan verir. Örneğin a²·b negatifse, a² pozitif olduğundan b negatiftir. Bulduğun işareti bir sonraki bilgiye taşıyarak zinciri tamamlarsın.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a, b, c sıfırdan farklı gerçek sayılardır. a³·b negatif, b²·c pozitif ve a·c pozitif olduğuna göre a, b ve c'nin işaretlerini bulunuz.
Çözüm. Çift kuvvetli bilgiden başlarız: b² pozitif olduğundan b²·c pozitifse c pozitiftir. a·c pozitif ve c pozitif olduğundan a da pozitiftir. a pozitifse a³ de pozitiftir; a³·b negatif olduğuna göre b negatiftir. Sonuç: a pozitif, b negatif, c pozitif.
Örnek 2. x negatif, y pozitif bir sayıdır. x⁴·y³, x³·y⁴ ve (x − y)·y ifadelerinin işaretleri nedir?
Çözüm. x⁴ çift kuvvet olduğu için pozitiftir, y³ de pozitiftir; çarpımları pozitiftir. x³ tek kuvvet olduğu için negatif, y⁴ pozitiftir; çarpımları negatiftir. x − y ifadesinde negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç negatiftir; bunu pozitif y ile çarpınca sonuç negatif olur. Sırasıyla: pozitif, negatif, negatif.
Sık yapılan hatalar
- −3² ifadesini 9 sanmak: üs yalnızca 3'e aittir, sonuç −9'dur.
- a² pozitiftir derken a'nın 0 olabileceğini unutmak; genel olarak a² ≥ 0 yazılır.
- Önünde eksi olan her ifadeyi negatif saymak: a negatifse −a pozitiftir.
- Çarpımda negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir.
- Çift kuvvet işareti siler, tek kuvvet işareti korur.
- İşaret sorularında çift kuvvet içeren bilgiden başla.