Konu anlatımı
Sayı kümeleri, bir sayının hangi aileye ait olduğunu söyler. Bir sorunun cevabı çoğu zaman bu bilgiye bağlıdır: “x bir doğal sayıdır” dendiğinde x negatif olamaz, “x bir tam sayıdır” dendiğinde kesirli olamaz. Bu alt başlıkta beş temel kümeyi, birbirlerini nasıl kapsadıklarını ve işlemlerin bu kümelerde nasıl davrandığını göreceksin.
Doğal sayılar ve tam sayılar
Doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, 3, ...} biçimindedir. 0'ı çıkardığında kalan {1, 2, 3, ...} kümesine sayma sayıları ya da pozitif tam sayılar denir ve Z⁺ ile gösterilir. Tam sayılar kümesi Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ise doğal sayılara onların negatiflerini ekler.
Negatif tam sayılar Z⁻ = {..., −3, −2, −1} ile gösterilir. 0 ne pozitif tam sayılar kümesine ne de negatif tam sayılar kümesine aittir; bu yüzden tam sayılar kümesi Z⁻, {0} ve Z⁺ kümelerinin birleşimi olarak yazılır.
Rasyonel ve irrasyonel sayılar
a ve b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen her sayı rasyoneldir. Her tam sayı rasyoneldir, çünkü örneğin −7 = −7/1 yazılabilir. Ondalık açılımı sonlu olan 0,25 = 1/4 gibi sayılar ve 0,333... = 1/3 gibi devirli sayılar da rasyoneldir.
Ondalık açılımı sonsuz olup hiçbir bölümü düzenli tekrar etmeyen sayılar irrasyoneldir: √2 = 1,4142..., π = 3,1415... gibi. Tam kare olmayan bir doğal sayının karekökü her zaman irrasyoneldir; bu yüzden √12 irrasyonel, √9 = 3 ise rasyoneldir. Kök işareti görmek sayının irrasyonel olduğunu göstermez; önce kökü sadeleştirmeyi dene.
Gerçek sayılar ve sayı doğrusu
Rasyonel ve irrasyonel sayılar birlikte gerçek sayılar kümesini oluşturur: R = Q ∪ Q'. Bu iki kümenin ortak elemanı yoktur, yani Q ∩ Q' = ∅. Kümeler arasındaki kapsama zinciri N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R biçimindedir; irrasyonel sayılar ise bu zincirin dışında, doğrudan R'nin içindedir.
Sayı doğrusundaki her nokta bir gerçek sayıya, her gerçek sayı da bir noktaya karşılık gelir. √2'nin yerini şöyle bulursun: kenarları 1 birim olan bir karenin köşegeni Pisagor bağıntısından √2 birimdir; bu köşegeni pergelle 0 noktasından başlayarak sayı doğrusuna taşırsın. Yaklaşık değerleri bilmek sıralama sorularında işe yarar: √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24.
İşlemlerin özellikleri ve kapalılık
Gerçek sayılarda toplama ve çarpma; değişme (a + b = b + a), birleşme ((a + b) + c = a + (b + c)) ve dağılma (a·(b + c) = a·b + a·c) özelliklerine sahiptir. Toplamanın etkisiz elemanı 0, çarpmanın etkisiz elemanı 1'dir. Her a sayısının toplamaya göre tersi −a, sıfırdan farklı her a sayısının çarpmaya göre tersi 1/a'dır.
Bir kümeden alınan iki sayıya işlem uygulandığında sonuç yine o kümede kalıyorsa küme o işleme göre kapalıdır. N toplama ve çarpmaya göre kapalıdır ama çıkarmaya göre değildir: 3 − 5 = −2 bir doğal sayı değildir. Z bölmeye göre kapalı değildir: 1 ÷ 2 tam sayı değildir. İrrasyonel sayılar toplamaya göre kapalı değildir: √2 + (−√2) = 0 rasyoneldir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. −7, 0,25, √9, √12, 2π ve 1,333... sayılarından hangileri rasyoneldir?
Çözüm. Her sayıyı a/b biçiminde yazmayı deneriz. −7 = −7/1 olduğundan rasyoneldir. 0,25 = 25/100 = 1/4 rasyoneldir. √9 = 3 olduğundan rasyoneldir. √12 = 2√3 ve √3 irrasyonel olduğu için √12 irrasyoneldir. 2π irrasyoneldir, çünkü π irrasyoneldir ve sıfırdan farklı bir rasyonel sayıyla çarpılması bunu değiştirmez. 1,333... devirli bir ondalık sayıdır ve 4/3'e eşittir, yani rasyoneldir. Rasyonel olanlar: −7, 0,25, √9 ve 1,333...
Örnek 2. İki irrasyonel sayının toplamı ve çarpımı her zaman irrasyonel midir?
Çözüm. Hayır; bunu göstermek için bir karşı örnek yeterlidir. a = 1 + √2 ve b = 1 − √2 sayılarının ikisi de irrasyoneldir. Toplamları (1 + √2) + (1 − √2) = 2, çarpımları ise iki kare farkından (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1 olur ve ikisi de rasyoneldir. Öte yandan √2 + √3 gibi toplamlar irrasyonel kalır; yani sonuç seçilen sayılara göre değişir ve “her zaman” denemez.
Sık yapılan hatalar
- Tam sayıların rasyonel olmadığını düşünmek: her tam sayı paydası 1 olan bir kesirdir.
- Kök içeren her sayıyı irrasyonel saymak: √16 = 4 ve √(9/4) = 3/2 rasyoneldir.
- Doğal sayılarla sayma sayılarını karıştırmak: 0 doğal sayıdır ama sayma sayısı değildir.
- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ve Q' ⊂ R; Q ile Q' ayrık kümelerdir.
- Ondalık açılımı sonlu ya da devirli olan sayı rasyonel, sonsuz ve devirsiz olan sayı irrasyoneldir.
- N çıkarmaya, Z bölmeye göre kapalı değildir; irrasyonel sayılar toplama ve çarpmaya göre kapalı değildir.