Konu anlatımı
Ardışık sayılar, aralarındaki fark hep aynı kalarak sıralanan sayılardır. Sayfa numaraları, sıra numaraları ya da “art arda gelen çift sayılar” gibi ifadelerin hepsi bu yapıyı kullanır. Bu alt başlıkta ardışık sayıları cebirle yazmayı, terim sayısını ve toplamı formülle bulmayı öğreneceksin.
Ardışık sayıları cebirle yazmak
Ardışık tam sayılar birer artar: n, n + 1, n + 2, ... Ardışık çift sayılar ve ardışık tek sayılar ikişer artar: 2n, 2n + 2, 2n + 4 çift sayıları; 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5 tek sayıları gösterir. Genel olarak r'şer artan sayıları n, n + r, n + 2r, ... diye yazarsın; örneğin 5'in ardışık katları 5n, 5n + 5, 5n + 10 olur.
Ortadaki terimi bilinmeyen seçmek işini kolaylaştırır. Ardışık üç tam sayıyı n − 1, n, n + 1 yazarsan toplamları 3n olur; böylece denklem tek adımda çözülür.
Terim sayısı
Aynı miktarda artan bir dizide terim sayısı = (son terim − ilk terim) ÷ artış + 1 olur. Fark, terimler arasındaki adım sayısını verir; adım sayısı terim sayısından her zaman 1 eksiktir, bu yüzden sonuca 1 eklenir. Örneğin 7'den 91'e kadar 4'er artan sayılar (91 − 7) ÷ 4 + 1 = 22 tanedir.
Toplam formülü
Toplamı bulmak için diziyi bir kez baştan sona, bir kez sondan başa yazıp alt alta topla. Her sütunun toplamı ilk terim + son terimdir ve terim sayısı kadar sütun vardır; bu toplam istenen toplamın iki katıdır. Buradan toplam = (ilk terim + son terim) · terim sayısı ÷ 2 elde edilir.
- 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
- 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
- 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
Ortadaki terim ve ortalama
Ardışık sayılarda ortalama, ilk ve son terimin ortalamasına eşittir. Terim sayısı tekse ortalama tam ortadaki terimdir; bu yüzden toplamı terim sayısına bölerek ortadaki terimi hemen bulursun. Terim sayısı çiftse ortada iki terim vardır ve ortalama bu ikisinin ortalamasıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 12 ile 87 arasındaki (12 ve 87 dahil) 3'ün katlarının toplamı kaçtır?
Çözüm. 12 ve 87 sayılarının ikisi de 3'ün katıdır, dizi 12, 15, ..., 87 biçimindedir. Terim sayısı (87 − 12) ÷ 3 + 1 = 25 + 1 = 26'dır. Toplam (12 + 87) · 26 ÷ 2 = 99 · 13 = 1287 olur.
Örnek 2. Ardışık 7 çift sayının toplamı 252'dir. Bu sayıların en küçüğü kaçtır?
Çözüm. Terim sayısı tek olduğundan ortadaki terim 252 ÷ 7 = 36'dır. Ortadaki terimin solunda üç terim vardır ve her adım 2 olduğundan en küçük sayı 36 − 3·2 = 30'dur. Dizi 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42 olur ve toplamı gerçekten 252'dir.
Örnek 3. 1 + 3 + 5 + ... + 49 toplamı kaçtır?
Çözüm. Bu, ilk n tek sayının toplamıdır. Terim sayısı (49 − 1) ÷ 2 + 1 = 25 olduğundan toplam 25² = 625 olur. Toplam formülüyle de aynı sonucu bulursun: (1 + 49) · 25 ÷ 2 = 625.
Sık yapılan hatalar
- Terim sayısını bulurken sondaki +1'i unutmak.
- Ardışık tek sayıları n, n + 1 diye yazmak; ikişer artmaları gerekir.
- Çift sayıda terim varken tek bir ortadaki terim aramak.
- Terim sayısı = (son − ilk) ÷ artış + 1.
- Toplam = (ilk + son) · terim sayısı ÷ 2.
- Tek sayıda ardışık terimde ortadaki terim = toplam ÷ terim sayısı.