Konu anlatımı
Tek-çift soruları çoğu zaman hiçbir uzun hesap yapmadan, yalnızca sayıların türüne bakarak çözülür. Bunun için iki gösterimi ve bu gösterimlerden çıkan birkaç kuralı bilmen yeterli. Bu alt başlıkta kuralların neden doğru olduğunu da göreceksin; böylece ezber yerine mantıkla ilerlersin.
Tanım ve gösterim
2 ile kalansız bölünebilen tam sayılar çift, 2'ye bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılar tektir. k bir tam sayı olmak üzere çift sayılar 2k, tek sayılar 2k + 1 biçiminde yazılır. Tanım negatif sayıları da kapsar: −6 = 2·(−3) çift, −7 = 2·(−4) + 1 tektir. 0 = 2·0 olduğundan 0 da çift sayıdır.
Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka tek, öbürü çifttir. Bu yüzden n·(n + 1) çarpımı her n tam sayısı için çifttir; örneğin 7·8 = 56 ve (−4)·(−3) = 12.
Toplama, çarpma ve kuvvet kuralları
Kuralları gösterimle kanıtlayabilirsin: 2k + 2m = 2(k + m) çift, (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1) çift, 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1 tektir. Çarpmada (2k + 1)(2m + 1) = 2(2km + k + m) + 1 tektir; çarpanlardan biri 2k biçimindeyse çarpım 2'nin katı olur. Aşağıda Ç çift sayıyı, T tek sayıyı gösteriyor.
- Ç ± Ç = Ç, T ± T = Ç, T ± Ç = T.
- Ç·Ç = Ç, Ç·T = Ç, T·T = T.
- n pozitif tam sayı ise Tⁿ = T ve Çⁿ = Ç; pozitif tam sayı kuvveti tek-çift durumunu değiştirmez.
- n tane tek sayının toplamı, n çiftse çift, n tekse tektir.
Soru çözme stratejisi
Önce kesin bilgi veren ifadeyle başla. “a·b tek” ifadesi iki sayının da tek olduğunu kesin söyler; “a·b çift” ise yalnızca en az birinin çift olduğunu söyler, hangisinin çift olduğunu söylemez. Bu yüzden çarpımın tek olduğu bilgisi çok daha güçlüdür.
Bilinmeyenlerin yerine küçük örnek sayılar koymak işini hızlandırır: tek için 1, çift için 2 ya da 0. Ama soru “kesinlikle” ya da “her zaman” diye soruyorsa tek bir örnek yetmez; vardığın sonucu kurallarla doğrula ya da bir karşı örnek ara.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x, y, z tam sayılardır. x·y tek ve y + z tek olduğuna göre x + y, x·z ve x + z ifadelerinin tek mi çift mi olduğunu bulunuz.
Çözüm. x·y tek olduğundan x ve y'nin ikisi de tektir. y tek ve y + z tek olduğundan z çift olmalıdır, çünkü z tek olsaydı tek + tek çift sonuç verirdi. Buna göre x + y = T + T olduğu için çift, x·z = T·Ç olduğu için çift, x + z = T + Ç olduğu için tektir.
Örnek 2. a ve b pozitif tam sayılardır. 3a + 4b = 47 olduğuna göre a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm. 4b her zaman çifttir. 47 tek olduğundan 3a tek olmalıdır; 3 tek olduğu için bu ancak a tek olursa sağlanır. b en az 1 olduğundan 3a ≤ 47 − 4 = 43, yani a ≤ 14 olur. 14'ten küçük ya da 14'e eşit en büyük tek sayı 13'tür. a = 13 için 4b = 47 − 39 = 8 ve b = 2 olur; b pozitif tam sayı olduğu için koşul sağlanır. a'nın alabileceği en büyük değer 13'tür.
Sık yapılan hatalar
- 0'ı tek sayı sanmak: 0 = 2·0 olduğu için çifttir.
- a·b çift bilgisinden iki sayının da çift olduğu sonucunu çıkarmak: kesin olan yalnızca en az birinin çift olmasıdır.
- Tek bir sayısal örnekle “her zaman doğru” sonucuna varmak.
- Aynı türden iki sayının toplamı ya da farkı çift, farklı türden iki sayınınki tektir.
- Çarpımın tek olması için bütün çarpanlar tek olmalıdır; tek bir çift çarpan sonucu çift yapar.
- Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çifttir.