Konu anlatımı
Asal sayılar çarpma işleminin yapı taşlarıdır: 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir. Bölünebilme, EBOB-EKOK ve kesir sadeleştirme gibi konuların hepsi bu gerçeğe dayanır. Bu alt başlıkta asal sayının tam tanımını, bir sayının asal olup olmadığını hızlıca test etmeyi ve aralarında asal sayıları öğreneceksin.
Asal sayının tanımı
1'den büyük olup pozitif bölenleri yalnızca 1 ve kendisi olan doğal sayılara asal sayı denir. İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37'dir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara asal olmayan (bileşik) sayılar denir; örneğin 12 = 2·2·3.
Tanımdaki iki ayrıntıya dikkat et. 1 asal değildir, çünkü yalnızca bir pozitif böleni vardır. 2 ise hem en küçük asal sayı hem de çift olan tek asal sayıdır; 2'den büyük bütün çift sayılar 2'ye bölündüğü için asal olamaz. Bu yüzden toplamı tek olan iki asal sayıdan biri mutlaka 2'dir.
Bir sayının asal olup olmadığını test etmek
n asal değilse, √n'den küçük ya da ona eşit bir asal böleni vardır. Nedeni şudur: n = a·b ve a ≤ b ise a·a ≤ a·b = n, yani a ≤ √n olur. Bu yüzden yalnızca √n'ye kadar olan asal sayıları denemen yeterlidir.
Örneğin 223 için √223 ≈ 14,9 olduğundan 2, 3, 5, 7, 11 ve 13'ü denersin. Hiçbiri 223'ü bölmediği için 223 asaldır. 221'de ise aynı sınıra kadar denerken 221 = 13·17 olduğunu görürsün, yani 221 asal değildir.
Aralarında asal sayılar
1'den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Bu sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 = 2³ ve 15 = 3·5 asal değildir ama ortak asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldır.
- Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır.
- Ardışık iki tam sayı her zaman aralarında asaldır; ortak bölenleri farklarını, yani 1'i de bölmek zorundadır.
- 1, her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır.
- a/b kesri ancak a ile b aralarında asalsa en sade hâldedir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a ve b asal sayılardır. a + b = 25 olduğuna göre a·b kaçtır?
Çözüm. İki sayının toplamı tek olduğu için biri tek, öbürü çift olmalıdır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan sayılardan biri 2, öbürü 25 − 2 = 23'tür. 23 asal olduğu için koşul sağlanır ve a·b = 2·23 = 46 bulunur.
Örnek 2. 391 sayısı asal mıdır?
Çözüm. √391 ≈ 19,8 olduğundan 19'a kadar olan asal sayıları deneriz: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 391 tek olduğu için 2'ye, rakamları toplamı 13 olduğu için 3'e bölünmez; son rakamı 0 ya da 5 olmadığı için 5'e de bölünmez. 7, 11 ve 13 de 391'i bölmez. 17'yi denediğimizde 17·23 = 391 olduğunu görürüz. Yani 391 asal değildir.
Örnek 3. 1'den 20'ye kadar olan sayılardan kaç tanesi 12 ile aralarında asaldır?
Çözüm. 12 = 2²·3 olduğundan 12 ile aralarında asal olan sayılar ne 2'ye ne de 3'e bölünmelidir. 1'den 20'ye kadar bu koşulu sağlayan sayılar 1, 5, 7, 11, 13, 17 ve 19'dur. Cevap 7'dir.
Sık yapılan hatalar
- 1'i asal saymak; 1'in tek bir pozitif böleni vardır.
- Aralarında asal olmak için iki sayının da asal olması gerektiğini sanmak.
- Asallık testinde √n'den büyük sayıları gereksiz yere denemek ya da √n'ye kadar olan bir asalı atlamak.
- 2 en küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır.
- Toplamı tek olan iki asal sayıdan biri 2'dir.
- n'nin asallığını test ederken √n'ye kadar olan asal sayıları denemek yeterlidir.
- Ardışık iki tam sayı her zaman aralarında asaldır.