Konu anlatımı
Rakam soruları basit görünür ama küçük bir koşul cevabı tamamen değiştirir: rakamların farklı olması, pozitif olması ya da bir sayının başında bulunması gibi. Bu alt başlıkta rakam ile sayıyı ayırmayı ve rakamlarla kurulan ifadelerin en büyük ve en küçük değerlerini sistemli biçimde bulmayı öğreneceksin.
Rakam ve sayı arasındaki fark
Rakam, sayıları yazmak için kullanılan on sembolün her biridir: 0, 1, 2, ..., 9. Sayı ise bir çokluğu belirtir ve bir ya da daha fazla rakamla yazılır. Tek rakamla yazılan sayılar aynı zamanda rakamdır; 12, 305 gibi sayılar ise rakam değildir.
Soruda “a bir rakamdır” deniyorsa a, 0 ile 9 arasında bir tam sayıdır. “a ve b rakamdır” ifadesi a ile b'nin eşit olmasını engellemez; eşit olamayacaklarsa soru “birbirinden farklı rakamlar” der. “Pozitif rakam” denirse 0 kullanılamaz. Bir sayının en soldaki rakamı da 0 olamaz; örneğin ab iki basamaklı bir sayıysa a en az 1'dir.
En büyük ve en küçük değer stratejisi
Rakamlarla kurulan bir ifadenin en büyük değerini bulmak için önce terimleri katsayılarına göre sırala. En büyük katsayılı pozitif terime en büyük rakamı, sonrakine kalan en büyük rakamı verirsin. Çıkarılan terimlere ise en küçük rakamları verirsin. En küçük değeri ararken bunun tersini yaparsın.
Rakamlar farklıysa her rakam yalnızca bir kez kullanılabildiği için karar sırası önemlidir: önce sonucu en çok etkileyen terime, yani katsayısı mutlak değerce en büyük olan terime karar ver.
Toplamı ya da çarpımı verilen rakamlar
a + b + c gibi bir toplam verildiğinde bir rakamın en büyük değerini bulmak için öbürlerini olabildiğince küçük seçersin. Ama hesaptan çıkan değer 9'u aşıyorsa o değer rakam olamaz; bu durumda rakamın en büyük değeri 9'dur ve öbür rakamların toplamı tamamlayabildiğini kontrol edersin. Örneğin farklı rakamlar için a + b + c = 15 ise b ve c'yi 0 ile 1 seçince a = 14 çıkar; bu bir rakam olmadığı için a en çok 9 olur (örneğin b = 2, c = 4).
Çarpım verildiğinde sayıyı asal çarpanlarına ayırır ve bu çarpanları rakamlara dağıtırsın. Böylece olası bütün rakam üçlülerini eksiksiz listelersin.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a, b, c birbirinden farklı rakamlardır. 3a − 2b + c ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm. İfadeyi küçültmek için çıkarılan 2b terimini büyük, eklenen 3a ve c terimlerini küçük tutarız. b = 9 seçeriz. Eklenen terimlerden katsayısı büyük olan 3a'ya en küçük rakamı veririz: a = 0. Kalan en küçük rakam c = 1 olur. Sonuç 3·0 − 2·9 + 1 = −17'dir. a = 1, c = 0 seçseydin 3 − 18 + 0 = −15 bulurdun; bu daha büyüktür.
Örnek 2. a, b, c birbirinden farklı pozitif rakamlardır. a·b·c = 36 olduğuna göre a + b + c toplamının alabileceği en büyük ve en küçük değerler kaçtır?
Çözüm. 36 = 2²·3² sayısını üç farklı pozitif rakamın çarpımı olarak yazmanın yollarını ararız. Rakamlardan biri 1 ise öbür ikisinin çarpımı 36 olmalıdır; farklı iki rakamla bu yalnızca 4·9 ile olur. Hiçbiri 1 değilse en küçük rakam 2 ya da 3 olabilir: 2·3·6 uygundur, 3·3·4 ise rakamlar farklı olmadığı için uygun değildir. Üçlüler {1, 4, 9} ve {2, 3, 6}'dır. Toplamın en büyük değeri 1 + 4 + 9 = 14, en küçük değeri 2 + 3 + 6 = 11'dir.
Sık yapılan hatalar
- Farklı rakam koşulunu unutup aynı rakamı iki harfe vermek.
- Hesaptan çıkan 10 ya da daha büyük bir değeri rakam kabul etmek.
- Pozitif rakam istendiğinde 0'ı kullanmak ya da çok basamaklı bir sayının başına 0 koymak.
- 10 rakam vardır: 0, 1, 2, ..., 9; pozitif rakamlar 1'den 9'a kadardır.
- En büyük değer için en büyük katsayıya en büyük rakamı, çıkarılan terime en küçük rakamı ver.
- Çarpımı verilen rakamları bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayır.