Konu anlatımı
Faktöriyel, ardışık pozitif tam sayıların çarpımını kısaca yazmanın yoludur. Sayma ve olasılık konularında sık kullanılır; temel kavramlar içinde ise faktöriyelli ifadeleri sadeleştirme ve faktöriyelin bölünebilme özellikleri karşına çıkar. Bu alt başlıkta tanımı, sadeleştirme tekniğini ve n! sayısının sonundaki sıfırları saymayı göreceksin.
Tanım ve ilk değerler
n pozitif bir tam sayı olmak üzere 1'den n'ye kadar olan tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir: n! = 1·2·3·...·n. İlk değerleri bilmek hız kazandırır: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040.
Tanım gereği 0! = 1'dir. Bunun mantığını n! = n·(n − 1)! eşitliğinden görebilirsin: n = 1 yazınca 1! = 1·0! olur; 1! = 1 olduğundan 0! de 1 olmalıdır.
Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirme
Büyük faktöriyeli küçük olana kadar açarsın: 8!/6! = 8·7·6!/6! = 56. Toplama ve çıkarmada ise en küçük faktöriyeli ortak çarpan parantezine alırsın: 7! + 6! = 7·6! + 6! = 6!·(7 + 1) = 8·6!. Faktöriyeller kendi aralarında toplanmaz: 3! + 4! = 6 + 24 = 30 iken 7! = 5040'tır.
Bilinmeyenli ifadelerde de aynı yol izlenir: (n + 1)!/(n − 1)! = (n + 1)·n·(n − 1)!/(n − 1)! = n(n + 1). Böylece faktöriyelli bir denklem sıradan bir denkleme dönüşür.
Sondaki sıfırların sayısı
Bir sayının sonundaki her sıfır bir 10 çarpanından, yani bir 2 ile bir 5'in çarpımından gelir. n! içinde 2 çarpanlarının sayısı 5 çarpanlarının sayısından hiçbir zaman az değildir; bu yüzden sondaki sıfır sayısı 5 çarpanlarının sayısına eşittir.
5 çarpanlarını saymak için n'yi art arda 5'e, 25'e, 125'e ... böler ve bölümlerin tam kısımlarını toplarsın. 25'e bölmenin nedeni, 25, 50, 75 gibi sayıların ikişer tane 5 çarpanı taşımasıdır; ilk bölmede bunların yalnızca birini saymıştın. Örneğin 60! için 60 ÷ 5 = 12 ve 60 ÷ 25'in tam kısmı 2 olduğundan sondaki sıfır sayısı 14'tür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (n + 1)! / (n − 1)! = 42 olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm. (n + 1)! = (n + 1)·n·(n − 1)! yazarak sadeleştiririz ve n(n + 1) = 42 elde ederiz. Ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı 42 ise bu sayılar 6 ve 7'dir. Buna göre n = 6 bulunur.
Örnek 2. 75! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm. 5 çarpanlarını sayarız. 75 ÷ 5 = 15, 75 ÷ 25 = 3 ve 75 ÷ 125'in tam kısmı 0'dır. Toplam 15 + 3 = 18 tane 5 çarpanı vardır; 2 çarpanları bundan fazla olduğu için 75! sayısının sonunda 18 sıfır bulunur.
Örnek 3. (9! + 8!) / (9! − 8!) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm. Pay ve paydada 8! ortak çarpandır. 9! + 8! = 9·8! + 8! = 8!·10 ve 9! − 8! = 9·8! − 8! = 8!·8 olur. 8! sadeleşir ve bölüm 10/8 = 5/4 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- 0! değerini 0 almak; 0! = 1'dir.
- a! + b! toplamını (a + b)! sanmak.
- Sondaki sıfırları sayarken yalnızca n ÷ 5 bölümünü alıp 25, 125 gibi kuvvetleri atlamak.
- n! = n·(n − 1)! eşitliği sadeleştirmenin anahtarıdır.
- Toplamada ve çıkarmada en küçük faktöriyeli ortak çarpan yap.
- n! sayısının sonundaki sıfır sayısı, n'nin 5'e, 25'e, 125'e ... bölümlerinin tam kısımlarının toplamıdır.