Konu anlatımı
Üç ya da daha fazla çokluk karşılaştırılırken oranlar a : b : c biçiminde tek satırda yazılır. Bilgiler çoğu zaman a : b ve b : c gibi ayrı ayrı verilir ve bunları birleştirmek gerekir. Bu alt başlıkta üçlü oranı okumayı, iki oranı ortak terim üzerinden birleştirmeyi ve eşitliklerden oran çıkarmayı öğreneceksin.
a : b : c ne anlatır?
a : b : c = 2 : 3 : 5 yazımı a'nın 2, b'nin 3, c'nin 5 eş parçadan oluştuğunu anlatır: a = 2k, b = 3k, c = 5k. Aynı bilgi a/2 = b/3 = c/5 = k biçiminde de yazılır. Toplam 10k olduğu için a + b + c = 60 ise k = 6 ve a = 12, b = 18, c = 30 bulunur. Üçlü orandan ikili oranlar da okunur: a/b = 2/3, b/c = 3/5 ve a/c = 2/5.
Ortak terimi eşitlemek
a : b = 2 : 3 ve b : c = 4 : 5 verildiğinde iki oranda da b vardır, ama b birinde 3, öbüründe 4 parçadır. Parçaları birleştirmek için b'nin karşılıklarını EKOK'larında eşitlersin: EKOK(3, 4) = 12. Birinci oran 4 ile genişletilince a : b = 8 : 12, ikinci oran 3 ile genişletilince b : c = 12 : 15 olur. Böylece a : b : c = 8 : 12 : 15 bulunur.
Oran yerine katlar verilebilir: “a, b'nin 2 katı; c, b'nin yarısı” bilgisinde b'yi 2 parça seçersen a = 4, c = 1 parça olur ve a : b : c = 4 : 2 : 1 bulunur.
Eşitliklerden oran çıkarmak
2a = 3b = 4c gibi eşitliklerde ortak değer katsayıların EKOK'u cinsinden yazılır: 2a = 3b = 4c = 12k ise a = 6k, b = 4k, c = 3k ve a : b : c = 6 : 4 : 3 olur. Kısa yol: Çokluklar katsayıların tersleriyle orantılıdır; 1/2 : 1/3 : 1/4 oranı 12 ile çarpılınca 6 : 4 : 3 elde edilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. a : b = 3 : 4 ve b : c = 6 : 7 olduğuna göre a : b : c oranı nedir? a + b + c = 105 ise c kaçtır?
Çözüm. b iki oranda 4 ve 6 parçadır; EKOK(4, 6) = 12. Birinci oranı 3 ile genişletince a : b = 9 : 12, ikinciyi 2 ile genişletince b : c = 12 : 14 olur. Böylece a : b : c = 9 : 12 : 14 bulunur. Toplam 35k = 105 olduğundan k = 3 ve c = 14·3 = 42'dir.
Örnek 2. 3x = 4y = 6z ve x + y − z = 15 olduğuna göre x kaçtır?
Çözüm. Katsayıların EKOK'u 12'dir; ortak değere 12k dersek x = 4k, y = 3k ve z = 2k olur. Verilen eşitlikte yerine koyunca 4k + 3k − 2k = 5k = 15 ve k = 3 bulunur. x = 4·3 = 12'dir. Kontrol: 3·12 = 4·9 = 6·6 = 36.
Sık yapılan hatalar
- İki oranı ortak terimi eşitlemeden yan yana yazmak: 2 : 3 ve 4 : 5'ten 2 : 3 : 5 çıkarmak.
- 2a = 3b = 4c eşitliğinden a : b : c = 2 : 3 : 4 sonucunu çıkarmak; oran katsayıların tersleriyledir.
- k'yi bulduktan sonra parça sayısıyla çarpmayı unutmak.
- a : b : c = m : n : p ise a = mk, b = nk, c = pk.
- İki oranı birleştirmek için ortak terimi EKOK'ta eşitle.
- ma = nb = pc ise a : b : c = 1/m : 1/n : 1/p.