Konu anlatımı
Bazı çokluklar ters yönde ve aynı oranda değişir: bir yolu iki kat hızla gidersen yarı sürede alırsın. Bu alt başlıkta ters orantıyı tanımayı, sabit çarpımı kullanmayı ve ters orantının günlük hayattaki tipik örneklerini göreceksin.
Tanım ve sabit çarpım
Biri kaç katına çıktığında öbürü aynı oranda küçülüyorsa, yani biri 2 katına çıkınca öbürü yarıya, 3 katına çıkınca üçte birine iniyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Bu durumda karşılık gelen değerlerin çarpımı sabittir: x·y = k, yani y = k/x.
Sabit çarpım çoğunlukla değişmeyen bir bütünü anlatır. 240 km'lik yolda hız·süre = 240 olduğundan saatte 60 km giden araç 4 saatte, saatte 80 km giden araç 3 saatte varır. Eşit bölüşülen bir miktarda kişi sayısı ile kişi başına düşen pay da ters orantılıdır.
Dişli çarklar
Birbirine geçmiş iki dişli çarkta aynı sürede iki çarktan geçen diş sayısı eşittir. Bu yüzden diş sayısı ile tur sayısının çarpımı iki çark için aynıdır: d₁·n₁ = d₂·n₂. 40 dişli bir çark 15 tur attığında ona bağlı 24 dişli çark 40·15/24 = 25 tur atar. Dişi az olan çark daha çok döner.
Tablo ve grafik
Ters orantılı çokluklar tabloya yazılınca her satırda x·y aynı çıkar: (2, 30), (3, 20), (5, 12) ve (6, 10) ikililerinin hepsinde çarpım 60'tır. Grafik bir doğru değildir; x büyüdükçe x eksenine yaklaşan ama onu hiç kesmeyen bir eğridir. Çarpım sıfırdan farklı sabit bir sayı olduğu için ne x ne de y sıfır olabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. 6 kişilik bir kamp grubunun yiyeceği 20 gün yetiyor. Gruba 4 kişi daha katılırsa aynı yiyecek kaç gün yeter?
Çözüm. Yiyecek miktarı değişmediği için kişi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır; çarpımları sabittir. Yiyecek, bir kişinin 6·20 = 120 günlük ihtiyacına eşittir. Grup 10 kişi olunca 10·x = 120 ve x = 12 gün bulunur.
Örnek 2. x ile y ters orantılıdır. x = 4 iken y = 15'tir. x = 6 iken y kaçtır? y = 3 olması için x kaç olmalıdır?
Çözüm. Ters orantıda çarpım sabittir: x·y = 4·15 = 60. x = 6 için 6y = 60 ve y = 10 bulunur. y = 3 için 3x = 60 ve x = 20 olur. x 4'ten 20'ye 5 katına çıkarken y 15'ten 3'e, yani beşte birine inmiştir.
Sık yapılan hatalar
- Ters orantılı çoklukları doğru orantı gibi kurmak: hız artınca sürenin de arttığını sanmak.
- Ters orantıda bölümü sabit almak.
- Dişli çarklarda dişi çok olan çarkın daha çok döndüğünü sanmak.
- Ters orantıda x·y = k sabittir; y = k/x.
- Sabit çarpım çoğunlukla değişmeyen bir bütünü anlatır: yol, toplam miktar, aktarılan diş sayısı.
- Grafik doğru değil, eksenlere yaklaşan bir eğridir.