Konu anlatımı
Bir denklemin köklerini bulmadan köklerin toplamını ve çarpımını katsayılardan okuyabilirsin. Bu alt başlıkta bu iki bağıntıyı, onlardan türetilen ifadeleri ve parametre bulma sorularını göreceksin. Program yalnızca kökler toplamı ve çarpımı ile katsayılar arasındaki ilişkileri ele alır; diğer ifadelerin hepsi bu iki bağıntıdan türetilir.
Toplam ve çarpım
ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) yazılabilir. Sağ taraf açılınca a[x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂] olur ve katsayılar karşılaştırılınca x₁ + x₂ = −b/a ve x₁·x₂ = c/a bulunur. 2x² − 7x + 3 = 0 için kökler toplamı 7/2, kökler çarpımı 3/2'dir; gerçekten kökler 3 ve 1/2'dir.
Türetilen ifadeler
Bu ifadelerin hepsi toplam ve çarpım cinsinden yazılır. x² − 8x + m = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark 2 ise (x₁ − x₂)² = 64 − 4m = 4 olur ve m = 15 bulunur; kökler 5 ve 3'tür.
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.
- 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂).
- (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂; buradan |x₁ − x₂| = √Δ/|a| elde edilir.
- x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂).
Köklerin işaretleri ve özel durumlar
Kökler çarpımı negatifse kökler ters işaretlidir ve bu durumda Δ kendiliğinden pozitiftir. Kökler çarpımı pozitifse kökler aynı işaretlidir ve ortak işaretleri kökler toplamının işaretidir. Köklerden biri diğerinin k katıysa kökler t ve kt alınır; toplam ve çarpım bağıntıları t için iki denklem verir.
Parametre bulunan her soruda, bulunan değer için Δ ≥ 0 koşulunu kontrol et. Toplam ve çarpım koşulundan çıkan bir değer, denklemin gerçek kökü olmasını garanti etmez; soru gerçek kök istiyorsa Δ < 0 veren parametre değerleri elenir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − (m − 1)x + m + 2 = 0 denkleminin gerçek kökleri x₁ ve x₂'dir. x₁² + x₂² = 9 olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. x₁ + x₂ = m − 1 ve x₁·x₂ = m + 2'dir. x₁² + x₂² = (m − 1)² − 2(m + 2) = m² − 4m − 3 = 9 eşitliğinden m² − 4m − 12 = 0 ve m = 6 ya da m = −2 bulunur. Δ = (m − 1)² − 4(m + 2) değeri m = 6 için −7 olur ve gerçek kök yoktur. m = −2 için Δ = 9'dur. Buna göre m = −2'dir; kökler 0 ve −3'tür.
Örnek 2. x² − 12x + m = 0 denkleminin köklerinden biri diğerinin 2 katı olduğuna göre m kaçtır?
Çözüm. Kökler t ve 2t olsun. Kökler toplamı 3t = 12 olduğundan t = 4'tür; kökler 4 ve 8 olur. Kökler çarpımı m = 4·8 = 32'dir. Kontrol: x² − 12x + 32 = (x − 4)(x − 8).
Örnek 3. x² + 3x − 5 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre x₁/x₂ + x₂/x₁ kaçtır?
Çözüm. İfadeyi ortak paydada yazarız: (x₁² + x₂²)/(x₁x₂). Toplam −3, çarpım −5 olduğundan x₁² + x₂² = 9 − 2·(−5) = 19 bulunur. Sonuç 19/(−5) = −19/5'tir.
Sık yapılan hatalar
- Kökler toplamını b/a sanmak; doğrusu −b/a'dır.
- x₁² + x₂² hesaplarken 2x₁x₂ terimini çıkarmayı unutmak.
- Parametreyi bulduktan sonra Δ ≥ 0 koşulunu kontrol etmemek.
- x₁ + x₂ = −b/a ve x₁·x₂ = c/a.
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ ve (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂.
- Kökler çarpımı negatifse kökler ters işaretlidir.