Konu anlatımı
x² + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılarda çözümü yoktur, çünkü hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir. Bu alt başlıkta böyle denklemlerin kökleri için tanımlanan karmaşık sayıları, a + ib gösterimini ve köklerin neden birbirinin eşleniği olduğunu göreceksin. Program bu konuyu yalnızca bu kadarıyla ele alır.
Yeni bir sayı kümesine neden gerek var?
Δ < 0 olan denklemlerde kök formülündeki √Δ bir gerçek sayı değildir. Bu denklemlerin de kökleri olabilsin diye karesi −1 olan yeni bir sayı tanımlanır ve i ile gösterilir: i² = −1. Böylece kök formülünde √(−16) yerine 4i, √(−3) yerine i√3 yazılabilir. Gerçek sayıları da içine alan bu yeni sayı kümesine karmaşık sayılar kümesi denir ve ℂ ile gösterilir.
a + ib gösterimi
a ve b gerçek sayılar olmak üzere z = a + ib biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir. a sayısı z'nin gerçek kısmıdır ve Re(z) ile, b sayısı sanal kısmıdır ve İm(z) ile gösterilir. z = 3 − 2i için Re(z) = 3 ve İm(z) = −2 olur; sanal kısım −2i değil, −2 sayısıdır. b = 0 ise z bir gerçek sayıdır; bu yüzden her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır.
Eşlenik kökler
z = a + ib sayısının eşleniği a − ib sayısıdır ve üzeri çizgili z ile gösterilir; eşlenikte yalnızca sanal kısmın işareti değişir. Gerçek katsayılı ve Δ < 0 olan bir ikinci dereceden denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir, çünkü kök formülündeki ± işareti yalnızca sanal kısmın işaretini değiştirir. x² − 4x + 13 = 0 için Δ = 16 − 52 = −36 olur ve kökler (4 ± 6i)/2, yani 2 + 3i ile 2 − 3i'dir.
Program karmaşık sayılarla ilgili olarak yalnızca a + ib gösterimini ve eşlenik kavramını ister; karmaşık sayılarla toplama, çarpma gibi işlemlere ve başka özelliklere girmez. Bu konudaki sorular, Δ < 0 olan denklemlerin köklerini a + ib biçiminde yazmak ve eşlenik kökleri tanımakla sınırlıdır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² + 6x + 10 = 0 denkleminin köklerini a + ib biçiminde yazınız.
Çözüm. Δ = 36 − 40 = −4 olduğundan gerçek kök yoktur. Kök formülünde √(−4) yerine 2i yazılır: x = (−6 ± 2i)/2 = −3 ± i. Kökler −3 + i ve −3 − i'dir. İkisinin de gerçek kısmı −3'tür; sanal kısımları 1 ve −1'dir, yani kökler birbirinin eşleniğidir.
Örnek 2. Hangi k değerleri için x² − 2x + k = 0 denkleminin gerçek kökü yoktur? k = 5 için denklemin köklerini yazınız.
Çözüm. Gerçek kök olmaması için Δ < 0 olmalıdır: 4 − 4k < 0, yani k > 1. k = 5 için Δ = 4 − 20 = −16 olur. Kök formülünde √(−16) yerine 4i yazılır: x = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i. Kökler 1 + 2i ve 1 − 2i'dir ve birbirinin eşleniğidir.
Sık yapılan hatalar
- Δ < 0 iken denklemin hiç kökü olmadığını söylemek; gerçek kökü yoktur, kökleri karmaşıktır.
- Eşleniği alırken gerçek kısmın işaretini değiştirmek; yalnızca sanal kısmın işareti değişir.
- z = a + ib sayısının sanal kısmını ib sanmak; sanal kısım b sayısıdır.
- i² = −1.
- z = a + ib ise Re(z) = a, İm(z) = b ve eşleniği a − ib'dir.
- Gerçek katsayılı ve Δ < 0 olan denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir.