Konu anlatımı
Gerçek hayattaki pek çok durum, özellikle alan ve çarpım içeren durumlar, ikinci dereceden bir denkleme götürür. Bu alt başlıkta problemi denkleme çevirmeyi, denklemi çözmeyi ve bulunan köklerden problemin koşullarına uyanı seçmeyi göreceksin.
Alan ve çerçeve problemleri
Kenarları bilinmeyenle yazılan bir dikdörtgenin alanı, bilinmeyenin ikinci dereceden bir ifadesidir. Kısa kenarı x olan ve uzun kenarı kısa kenarından 4 m fazla olan bir bahçenin alanı 60 m² ise x(x + 4) = 60, yani x² + 4x − 60 = 0 ve (x + 10)(x − 6) = 0 bulunur. Uzunluk negatif olamayacağı için x = 6'dır ve bahçe 6 m'ye 10 m'dir.
Bahçenin çevresine 1 m genişliğinde bir yol yapılırsa yol her boyuta iki kez eklenir, çünkü iki karşılıklı kenarda da yol vardır. Yolla birlikte kenarlar x + 2 ve x + 6 olur.
Kutu yapımı
Dikdörtgen bir kartonun dört köşesinden kenarı x olan kareler kesilip kenarlar katlanırsa üstü açık bir kutu oluşur. Karton a'ya b ise kutunun taban kenarları a − 2x ve b − 2x, yüksekliği x olur. Taban alanı ya da hacim verildiğinde ikinci dereceden bir denklem ortaya çıkar. Bulunan x değerlerinden taban kenarlarını pozitif yapan seçilir; yani x, kısa kenarın yarısından küçük olmalıdır.
Sayı ve çarpım problemleri
Ardışık iki çift sayının çarpımı 168 ise sayılar x ve x + 2 alınır: x(x + 2) = 168, x² + 2x − 168 = 0 ve (x + 14)(x − 12) = 0 bulunur. x = 12 için sayılar 12 ve 14, x = −14 için −14 ve −12'dir; soru pozitif sayılar istiyorsa yalnızca ilk çift uygundur. Adet ve birim fiyat içeren problemlerde de tutar adet ile birim fiyatın çarpımı olduğu için iki bilinmeyenin çarpımı ikinci dereceden denklemlere götürür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Dikdörtgen biçimindeki bir havuzun uzun kenarı kısa kenarından 5 m fazladır. Havuzun çevresine 1 m genişliğinde bir yürüme yolu yapılınca yol ile havuzun kapladığı toplam alan 104 m² oluyor. Havuzun alanı kaç m²'dir?
Çözüm. Kısa kenar x ise uzun kenar x + 5'tir. Yol her boyuta 2 m ekler; yolla birlikte kenarlar x + 2 ve x + 7 olur. (x + 2)(x + 7) = 104 eşitliği x² + 9x − 90 = 0, yani (x + 15)(x − 6) = 0 biçimine gelir. x = 6 olduğundan havuz 6 m'ye 11 m'dir ve alanı 66 m²'dir. Kontrol: 8·13 = 104.
Örnek 2. Kenarları 16 cm ve 10 cm olan dikdörtgen bir kartonun dört köşesinden kenarı x cm olan kareler kesilip üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun taban alanı 72 cm² ise hacmi kaç cm³'tür?
Çözüm. Taban kenarları 16 − 2x ve 10 − 2x olur: (16 − 2x)(10 − 2x) = 72. Açınca 4x² − 52x + 88 = 0, yani x² − 13x + 22 = 0 ve (x − 2)(x − 11) = 0 bulunur. x = 11 için taban kenarları negatif olacağından x = 2'dir. Kutunun yüksekliği 2 cm, hacmi 72·2 = 144 cm³'tür.
Örnek 3. x² − (m + 1)x + m + 4 = 0 denkleminin iki kökü de tam sayı olduğuna göre m'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm. Kökler x₁ ve x₂ ise x₁ + x₂ = m + 1 ve x₁x₂ = m + 4'tür. İkinci eşitlikten birinciyi çıkarınca x₁x₂ − x₁ − x₂ = 3, yani (x₁ − 1)(x₂ − 1) = 4 bulunur. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftleri kökleri 2 ile 5, 3 ile 3, 0 ile −3 ve −1 ile −1 olarak verir. Bunlara karşılık m = 6, 5, −4 ve −3 olur. Toplam 4'tür.
Sık yapılan hatalar
- Yol ya da çerçeve genişliğini her boyuta yalnızca bir kez eklemek.
- Negatif ya da problemin koşulunu bozan kökü elemeden cevap vermek.
- Bilinmeyeni bulduktan sonra sorulan büyüklüğü (alan, çevre, hacim) hesaplamayı unutmak.
- İki bilinmeyen büyüklüğün çarpımı ikinci dereceden bir denklem verir.
- Bulunan kökleri problemin koşullarıyla (pozitiflik, tam sayı olma) kontrol et.
- Çerçeve ya da yol genişliği her boyuta iki kez eklenir.