Konu anlatımı
Bir ikinci dereceden denklemi çözmenin en hızlı yolu, mümkünse onu çarpanlarına ayırmaktır. Bu alt başlıkta sıfır çarpım kuralını, hangi çarpanlara ayırma yönteminin ne zaman kullanılacağını ve kök kaybettiren tipik hataları göreceksin. Çarpanlara ayırma yöntemlerinin ayrıntısı Çarpanlara Ayırma sayfasındadır.
Sıfır çarpım kuralı
İki gerçek sayının çarpımı sıfırsa sayılardan en az biri sıfırdır: A·B = 0 ise A = 0 ya da B = 0. Bu kural yalnızca sağ taraf sıfır olduğunda işe yarar. x(x − 1) = 6 denkleminde x = 6 ya da x − 1 = 6 yazmak yanlıştır, çünkü çarpımı 6 olan sayılar için böyle bir kural yoktur. Önce bütün terimler bir tarafa toplanır: x² − x − 6 = 0, (x − 3)(x + 2) = 0 ve kökler 3 ile −2 bulunur.
Yöntemi seçmek
Sabit terim yoksa ortak çarpan alınır: 3x² + 12x = 0 için 3x(x + 4) = 0 ve x = 0 ya da x = −4. Orta terim yoksa iki kare farkı kullanılır: 4x² − 25 = 0 için (2x − 5)(2x + 5) = 0 ve x = 5/2 ya da x = −5/2.
Üç terimli denklemlerde çarpımı a·c, toplamı b olan iki sayı aranır. 2x² − 7x + 3 = 0 için a·c = 6'dır ve bu sayılar −6 ile −1'dir. Orta terim bölünüp gruplandırılır: 2x² − 6x − x + 3 = 2x(x − 3) − (x − 3) = (x − 3)(2x − 1) = 0. Kökler 3 ile 1/2'dir.
Kök kaybetmemek
Denklemin iki tarafını bilinmeyen içeren bir ifadeyle bölmek kök kaybettirir. x² = 5x denkleminde iki taraf x ile bölünürse yalnızca x = 5 bulunur; oysa x = 0 da bir köktür. Doğru yol x² − 5x = 0 ve x(x − 5) = 0 yazmaktır. Benzer biçimde (x − 2)² = 3(x − 2) denkleminde x − 2 ortak çarpan olarak alınır: (x − 2)(x − 2 − 3) = (x − 2)(x − 5) = 0 ve kökler 2 ile 5'tir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x + 1)(x − 4) = 6 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. Sağ taraf sıfır olmadığı için önce çarpımı açıp bütün terimleri bir tarafa toplarız: x² − 3x − 4 − 6 = 0, yani x² − 3x − 10 = 0. Çarpımı −10, toplamı −3 olan sayılar −5 ve 2'dir: (x − 5)(x + 2) = 0. Çözüm kümesi {−2, 5}'tir. Kontrol: 6·1 = 6 ve (−1)·(−6) = 6.
Örnek 2. 3x² − 5x − 2 = 0 denkleminin kökleri nelerdir?
Çözüm. a·c = 3·(−2) = −6'dır; çarpımı −6, toplamı −5 olan sayılar −6 ve 1'dir. Orta terimi bölüp gruplarız: 3x² − 6x + x − 2 = 3x(x − 2) + (x − 2) = (x − 2)(3x + 1). Çarpanları sıfıra eşitleyince x = 2 ya da x = −1/3 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Sağ taraf sıfır değilken çarpanları ayrı ayrı sağ taraftaki sayıya eşitlemek.
- İki tarafı x ile bölüp x = 0 kökünü kaybetmek.
- Kökü yazarken işaret hatası yapmak: x + 4 = 0 için x = 4 yazmak.
- Önce bütün terimleri bir tarafa topla, sonra çarpanlara ayır.
- A·B = 0 ise A = 0 ya da B = 0.
- Bilinmeyen içeren bir ifadeyle bölme; ortak çarpan parantezine al.