Konu anlatımı
Diskriminant, bir ikinci dereceden denklemi çözmeden köklerinin durumunu söyleyen sayıdır. Bu alt başlıkta kök formülüyle çözmeyi, diskriminantın işaretini yorumlamayı ve kök koşulları verilen parametreli denklemleri göreceksin.
Kök formülü
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) denkleminde Δ = b² − 4ac olmak üzere kökler x = (−b ± √Δ)/(2a) formülüyle bulunur. 2x² − 3x − 1 = 0 için Δ = 9 + 8 = 17 olur ve kökler (3 + √17)/4 ile (3 − √17)/4'tür.
b çift sayıysa hesap kısalır. b = 2k yazılırsa Δ/4 = k² − ac ve x = (−k ± √(Δ/4))/a olur. x² − 6x + 4 = 0 için k = −3, Δ/4 = 9 − 4 = 5 ve kökler 3 + √5 ile 3 − √5 bulunur.
Köklerin durumu
Δ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır. Δ = 0 ise iki kök eşittir; bu köke çakışık ya da çift kök denir ve değeri −b/(2a) olur. Bu durumda ax² + bx + c ifadesi bir tam karedir. Δ < 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur; kökleri karmaşık sayılardır.
a ile c ters işaretliyse a·c < 0 olduğundan −4ac pozitiftir ve Δ = b² − 4ac kesinlikle pozitif çıkar. Bu tür denklemlerin her zaman birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
Parametreli denklemler
Katsayılarında parametre bulunan denklemlerde istenen kök durumuna göre Δ için bir koşul yazılır. x² − 4x + m = 0 denkleminin iki farklı gerçek kökü varsa Δ = 16 − 4m > 0 ve m < 4 olmalıdır. Çakışık kök için Δ = 0, gerçek kök olmaması için Δ < 0 yazılır. x²'nin katsayısında parametre varsa denklemin ikinci dereceden kalması için bu katsayının sıfırdan farklı olması gerektiğini ayrıca kontrol et.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (m − 1)x² − 4x + 2 = 0 ikinci dereceden denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökü olduğuna göre m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm. İki farklı gerçek kök için Δ > 0 olmalıdır: 16 − 4·(m − 1)·2 = 24 − 8m > 0, yani m < 3. Ayrıca denklemin ikinci dereceden olması için m − 1 ≠ 0, yani m ≠ 1 olmalıdır. m < 3 koşulunu sağlayan en büyük tam sayı 2'dir ve 1'den farklıdır. m = 2 için x² − 4x + 2 = 0 denkleminde Δ = 8 > 0 olur.
Örnek 2. x² − 2(m + 1)x + m² + 3 = 0 denkleminin çakışık kökü olduğuna göre m kaçtır? Bu kök kaçtır?
Çözüm. b = −2(m + 1) çift katsayı olduğu için Δ/4 = (m + 1)² − (m² + 3) = 2m − 2 yazılır. Çakışık kök için 2m − 2 = 0 ve m = 1 bulunur. Denklem x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 olur ve çakışık kök 2'dir.
Sık yapılan hatalar
- Δ hesaplarken b'nin işaretini karıştırmak; b negatif olsa da b² pozitiftir.
- Kök formülünde 2a paydasını yalnızca karekök terimine yazmak; 2a bütün payı böler.
- Parametreli denklemde x²'nin katsayısının sıfır olabileceğini gözden kaçırmak.
- Δ = b² − 4ac ve x = (−b ± √Δ)/(2a).
- Δ > 0 iki farklı gerçek kök, Δ = 0 çakışık kök, Δ < 0 gerçek kök yok.
- a·c < 0 ise Δ > 0'dır.