Konu anlatımı
Bazı denklemler ilk bakışta ikinci dereceden görünmez ama içlerinde tekrar eden bir ifade vardır. Bu ifadeye yeni bir harf verildiğinde denklem ikinci dereceye iner. Bu alt başlıkta yöntemi, uygun ifadeyi seçmeyi ve yeni değişkene konan koşulları göreceksin.
Yöntem
Denklemde tekrar eden ifadeye yeni bir harf verilir, yeni denklem çözülür ve bulunan her değer için eski ifadeye geri dönülür. (x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0 denkleminde x² − 3x = t dersen t² − 2t − 8 = 0, yani (t − 4)(t + 2) = 0 ve t = 4 ya da t = −2 bulunur. Geri dönünce x² − 3x = 4 denkleminden x = 4 ya da x = −1, x² − 3x = −2 denkleminden x = 1 ya da x = 2 elde edilir.
Her t değeri ayrı bir ikinci dereceden denklem verir ve bunlardan bazılarının gerçek kökü olmayabilir. Bu yüzden geri dönüş denklemlerinin diskriminantlarına ayrı ayrı bak.
x⁴ + bx² + c = 0 türü denklemler
x² = t dönüşümüyle x⁴ = t² olur ve denklem ikinci dereceye iner. x⁴ − 10x² + 9 = 0 için t² − 10t + 9 = 0, yani t = 1 ya da t = 9 bulunur; x² = 1 ve x² = 9 eşitliklerinden kökler −3, −1, 1 ve 3'tür.
t = x² negatif olamayacağı için negatif bir t değeri gerçek kök vermez. x⁴ + x² − 6 = 0 için t² + t − 6 = 0 ve t = 2 ya da t = −3 bulunur; yalnızca x² = 2 eşitliğinden x = √2 ve x = −√2 kökleri gelir.
Karekök ve 1/x içeren denklemler
x − 5√x + 6 = 0 denkleminde √x = t alınırsa x = t² olur ve t² − 5t + 6 = 0, yani t = 2 ya da t = 3 bulunur. √x negatif olamayacağı için t ≥ 0 koşulu vardır; burada iki değer de uygundur ve x = 4 ya da x = 9'dur.
x + 1/x gibi ifadeler de bir harfle gösterilebilir. (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 = 0 için x + 1/x = 2 ya da x + 1/x = 3 bulunur. Birincisi x² − 2x + 1 = 0 denklemine ve x = 1 köküne, ikincisi x² − 3x + 1 = 0 denklemine götürür.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. (x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0 denkleminin gerçek köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm. x² − 3x = t dersen t = 4 ya da t = −2 bulunur. x² − 3x − 4 = 0 denkleminde Δ = 25 > 0, x² − 3x + 2 = 0 denkleminde Δ = 1 > 0'dır; ikisinin de iki gerçek kökü vardır ve her birinde kökler toplamı 3'tür. Toplam 3 + 3 = 6 olur. Kökler tek tek −1, 4, 1 ve 2'dir.
Örnek 2. x − 2√x − 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm. √x = t (t ≥ 0) dersen t² − 2t − 8 = 0, yani (t − 4)(t + 2) = 0 olur. t = −2 değeri t ≥ 0 koşulunu sağlamadığı için atılır. t = 4 için √x = 4 ve x = 16 bulunur. Kontrol: 16 − 2·4 − 8 = 0. Çözüm kümesi {16}'dır.
Sık yapılan hatalar
- Yeni değişkenin değerini bulup eski değişkene geri dönmeyi unutmak.
- x² = t ya da √x = t dönüşümünde t'nin negatif olamayacağını gözden kaçırmak.
- Her t değerinden gelen denklemin diskriminantını kontrol etmeden kökleri saymak.
- Tekrar eden ifadeye t de, t'yi bul, sonra eski değişkene dön.
- x² = t ve √x = t dönüşümlerinde t ≥ 0 olmalıdır.
- Bulunan kökleri asıl denklemde dene.