Tam Kareye Tamamlama

Konu anlatımı

Kolayca çarpanlarına ayrılamayan denklemler de tam kareye tamamlama yöntemiyle çözülür. Bu alt başlıkta yöntemi adım adım, baş katsayısı 1'den farklı denklemlerde nasıl uygulandığını ve kök formülünün bu yöntemden nasıl çıktığını göreceksin.

(x + m)² = n biçimi

(x + m)² = n denkleminde n > 0 ise x + m = √n ya da x + m = −√n olur ve x = −m ± √n bulunur. n = 0 ise tek bir değer çıkar: x = −m. n < 0 ise bir sayının karesi negatif olamayacağı için gerçek kök yoktur. (x − 1)² = 9 için x − 1 = 3 ya da x − 1 = −3, yani x = 4 ya da x = −2'dir. Karekök alırken iki işareti de yazmayı unutma.

Tamamlama adımları

x² + bx ifadesine (b/2)² eklenip çıkarılırsa tam kare oluşur: x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)². x² + 6x + 4 = 0 denkleminde x² + 6x = (x + 3)² − 9 yazılır; denklem (x + 3)² − 9 + 4 = 0, yani (x + 3)² = 5 olur. Buradan x + 3 = ±√5 ve x = −3 + √5 ya da x = −3 − √5 bulunur.

Baş katsayı 1 değilse önce bütün denklem bu katsayıya bölünür. 2x² − 8x + 3 = 0 için x² − 4x + 3/2 = 0 yazılır; x² − 4x = (x − 2)² − 4 olduğundan (x − 2)² = 4 − 3/2 = 5/2 bulunur ve x = 2 ± √(5/2) olur.

Kök formülüne giden yol

Aynı adımlar ax² + bx + c = 0 denklemine uygulanırsa önce iki taraf a'ya bölünür ve x² + (b/a)x = −c/a olur. İki tarafa (b/(2a))² eklenince sol taraf tam kare olur: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Karekök alınıp düzenlenince x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) elde edilir. Bu formül her ikinci dereceden denklem için geçerli olan genel çözümdür ve b² − 4ac ifadesi diskriminant adını alır.

Çözümlü örnekler

Sık yapılan hatalar

• Eklenen (b/2)² değerini çıkarmayı unutup denklemi değiştirmek.
• Karekök alırken yalnızca pozitif değeri yazıp ikinci kökü kaybetmek.
• Baş katsayı 1 değilken denklemi bölmeden tamamlamaya çalışmak.