Konu anlatımı
Kökleri bilinen bir denklemi kurmak, kökler toplamı ve çarpımıyla ilgili bağıntıları tersinden kullanmaktır. Bu alt başlıkta kökleri doğrudan verilen denklemi kurmayı ve bir denklemin köklerinden türetilen yeni köklerle denklem yazmayı göreceksin.
Temel kalıp
Kökleri x₁ ve x₂ olan ve baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklem (x − x₁)(x − x₂) = 0, yani x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 biçimindedir. Kökler toplamına S, kökler çarpımına P dersek denklem x² − Sx + P = 0 olur. Kökleri 3 ve −5 olan denklem için S = −2 ve P = −15'tir; denklem x² + 2x − 15 = 0 olur. Baş katsayının başka bir sayı olması istenirse bütün denklem o sayıyla çarpılır; kökler değişmez.
Köklü ve kesirli kökler
Kökler 1 + √5 ve 1 − √5 ise S = 2 ve P = 1 − 5 = −4 olur; denklem x² − 2x − 4 = 0'dır. Kökler eşlenik olduğu için köklü terimler toplamda ve çarpımda kaybolur ve katsayılar rasyonel çıkar.
Kökler kesirliyse önce denklem kurulur, sonra paydalar eşitlenerek tam sayı katsayılı biçim yazılır. Kökler 1/2 ve −3 için S = −5/2 ve P = −3/2 olur; denklem x² + (5/2)x − 3/2 = 0, iki tarafı 2 ile çarpınca 2x² + 5x − 3 = 0'dır.
Dönüştürülmüş kökler
Bir denklemin köklerini bulmadan, köklerden türetilen yeni köklerle denklem kurulabilir. x² − 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri a ve b ise a + b = 5 ve ab = 3'tür. Kökleri a + 1 ve b + 1 olan denklem için S = (a + b) + 2 = 7 ve P = ab + (a + b) + 1 = 9 bulunur; denklem x² − 7x + 9 = 0 olur.
Kökleri 2a ve 2b olan denklemde S = 10 ve P = 4ab = 12'dir. Kökler a² ve b² ise S = (a + b)² − 2ab = 19 ve P = (ab)² = 9 olur. Her durumda yeni köklerin toplamını ve çarpımını eski toplam ve çarpım cinsinden yazarsın.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. x² − 3x − 2 = 0 denkleminin kökleri a ve b'dir. Kökleri 1/a ve 1/b olan ikinci dereceden denklemi tam sayı katsayılarla yazınız.
Çözüm. a + b = 3 ve ab = −2'dir. Yeni köklerin toplamı 1/a + 1/b = (a + b)/(ab) = −3/2, çarpımı 1/(ab) = −1/2'dir. Denklem x² + (3/2)x − 1/2 = 0 olur; iki taraf 2 ile çarpılınca 2x² + 3x − 1 = 0 bulunur. Kökler ters çevrilince katsayıların sırasının da ters döndüğüne dikkat et.
Örnek 2. x² − 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri a ve b'dir. Kökleri a/b ve b/a olan ve baş katsayısı 1 olan denklem nedir?
Çözüm. a + b = 4 ve ab = 2'dir. Yeni köklerin çarpımı (a/b)·(b/a) = 1'dir. Toplamı a/b + b/a = (a² + b²)/(ab) olur; a² + b² = 16 − 4 = 12 olduğundan toplam 12/2 = 6'dır. Denklem x² − 6x + 1 = 0 bulunur.
Sık yapılan hatalar
- Kalıpta orta terimin işaretini yanlış yazmak: x² + Sx + P = 0 yazmak.
- Yeni köklerin çarpımını hesaplarken terimleri unutmak: (a + 1)(b + 1) çarpımını ab + 1 sanmak.
- Baş katsayıyı değiştirirken yalnızca x²'li terimi çarpmak.
- Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
- Yeni köklerin toplamını ve çarpımını eski toplam ve çarpım cinsinden yaz.
- Baş katsayıyı ayarlamak için bütün denklemi aynı sayıyla çarp.