Konu anlatımı
EKOK, verilen sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır. Bu alt başlıkta EKOK'u hızlı ve güvenli bulmanın yollarını ve hesap yapmadan EKOK'u söylemeni sağlayan özel durumları göreceksin.
Asal çarpan yöntemi
Sayıları asal çarpanlarına ayırır, sayılarda geçen bütün asal çarpanları en büyük üsleriyle alıp çarparsın. 18 = 2·3², 24 = 2³·3 ve 30 = 2·3·5 için asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir; en büyük üsler 3, 2 ve 1 olduğundan EKOK = 2³·3²·5 = 360'tır.
EKOK'un her sayıyı içermesi gerektiğini düşün: 24'ün içindeki 2³ ve 18'in içindeki 3² ortak katta mutlaka bulunmalıdır. Daha küçük bir üs seçersen sayılardan biri EKOK'u bölmez.
Bölme tablosu
Sayıları yan yana yazıp en az birini bölen asal sayılarla bölmeye başlarsın; bölünemeyen sayı olduğu gibi aşağı indirilir. Bütün sayılar 1 olunca durursun ve kullandığın bütün asal sayıları çarparsın. EBOB tablosundan farkı, burada asalın sayıların hepsini bölmesinin gerekmemesidir.
18, 24, 30 için 2'ye bölünce 9, 12, 15; yine 2'ye bölünce 9, 6, 15; yine 2'ye bölünce 9, 3, 15; 3'e bölünce 3, 1, 5; yine 3'e bölünce 1, 1, 5; 5'e bölünce 1, 1, 1 olur. Kullanılan asallar 2, 2, 2, 3, 3, 5'tir ve EKOK = 360'tır.
Özel durumlar
Bazı sayı gruplarında EKOK'u doğrudan söyleyebilirsin:
- a, b'nin katıysa EKOK(a, b) = a'dır: EKOK(6, 42) = 42.
- Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır: EKOK(8, 15) = 120.
- Ardışık iki pozitif tam sayının EKOK'u çarpımlarıdır: EKOK(11, 12) = 132.
- Bir sayının bölenleri EKOK'a yeni çarpan getirmez: 2 ile 3, 4'ün ve 6'nın böleni olduğu için EKOK(2, 3, 4, 5, 6) = EKOK(4, 5, 6) = 60'tır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. EKOK(12, 20, 45) kaçtır?
Çözüm. Asal çarpanlara ayırırız: 12 = 2²·3, 20 = 2²·5, 45 = 3²·5. Geçen asallar 2, 3 ve 5'tir; en büyük üsleri 2, 2 ve 1'dir. EKOK = 2²·3²·5 = 4·9·5 = 180'dir. Kontrol: 180 ÷ 12 = 15, 180 ÷ 20 = 9, 180 ÷ 45 = 4.
Örnek 2. a bir pozitif tam sayı ve EKOK(a, 12) = 60 olduğuna göre a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
Çözüm. 60 = 2²·3·5 ve 12 = 2²·3'tür. 12'de 5 çarpanı olmadığı için EKOK'taki 5 ancak a'dan gelebilir; a, 5'in katı olmalıdır. Ayrıca a, EKOK olan 60'ı bölmelidir; bu yüzden a'daki 2'nin üssü 0, 1 ya da 2; 3'ün üssü 0 ya da 1 olabilir. a = 5·2ⁱ·3ʲ biçiminde 3·2 = 6 değer vardır: 5, 10, 15, 20, 30, 60.
Sık yapılan hatalar
- EKOK'ta yalnızca ortak asal çarpanları almak; bütün asal çarpanlar alınır.
- Bölme tablosunda bir sayıyı bölen asalı atlamak ya da hiçbir sayıyı bölmeyen bir asalı çarpıma eklemek.
- Sayıları çarpıp EKOK'u bulduğunu sanmak; bu yalnızca sayılar aralarında asalsa doğrudur.
- EKOK = bütün asal çarpanların en büyük üslerle çarpımı.
- Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır.
- Bir sayı öbürünün katıysa EKOK büyük olan sayıdır.