Konu anlatımı
“Bir sayı 4'e, 6'ya ve 9'a bölündüğünde hep 3 kalanını veriyor” türündeki sorular EKOK'un en sık kullanıldığı yerlerden biridir. Bu alt başlıkta iki temel kalıbı nedenleriyle birlikte göreceksin: kalanların eşit olması ve kalanların bölenden aynı miktar eksik olması.
Kalanlar eşitse
A sayısı a'ya, b'ye ve c'ye bölündüğünde hep k kalanını veriyorsa A − k sayısı a'ya, b'ye ve c'ye tam bölünür. O hâlde A − k, bu sayıların ortak katıdır: A − k = EKOK(a, b, c)·n. Buradan A = EKOK·n + k bulunur. Kalan k, bölenlerin en küçüğünden küçük olmalıdır.
Örneğin 4'e, 6'ya ve 9'a bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar EKOK(4, 6, 9)·n + 3 = 36n + 3 biçimindedir: 39, 75, 111, ... n = 0 için bulunan 3 de koşulu sağlar ama bölümler 0 olduğu için sorular genellikle “iki basamaklı” ya da “1'den büyük” gibi bir koşulla bu durumu dışarıda bırakır.
Kalanlar bölenden aynı miktar eksikse
A sayısı 4'e bölündüğünde 3, 5'e bölündüğünde 4, 6'ya bölündüğünde 5 kalanını veriyorsa her kalan bölenden 1 eksiktir. Bu durumda A + 1 sayısı 4'e, 5'e ve 6'ya tam bölünür, çünkü kalana 1 eklenince bölen tamamlanır. A + 1 = EKOK(4, 5, 6)·n = 60n, yani A = 60n − 1'dir. En küçük pozitif değer 59'dur.
Genel kural: kalan bölenden hep m eksikse A + m ortak kattır. Hangi kalıbın geçerli olduğunu anlamak için her bölen için “bölen − kalan” farkına bak; bu fark sabitse ikinci kalıp, kalanlar eşitse birinci kalıp uygulanır.
Aralıkta kalan sayıları saymak
A = EKOK·n + k biçimini bulduktan sonra belirli bir aralıktaki değerleri sayarsın. Örneğin 36n + 3 biçimindeki üç basamaklı sayılar için 100 ≤ 36n + 3 ≤ 999 yazılır. n = 2 için 75 iki basamaklı, n = 3 için 111 üç basamaklıdır; n = 27 için 975 üç basamaklı, n = 28 için 1011 dört basamaklıdır. n, 3'ten 27'ye kadar değer alır ve 27 − 3 + 1 = 25 sayı bulunur.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir okuldaki öğrenciler 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı gruplara ayrıldığında her seferinde 5 öğrenci açıkta kalıyor. Öğrenci sayısı 200 ile 300 arasında olduğuna göre okulda kaç öğrenci vardır?
Çözüm. Kalanlar eşit olduğundan öğrenci sayısının 5 eksiği 6'nın, 8'in ve 10'un ortak katıdır. EKOK(6, 8, 10) = 2³·3·5 = 120 olduğundan öğrenci sayısı 120n + 5 biçimindedir: 125, 245, 365, ... 200 ile 300 arasındaki tek değer 245'tir. Kontrol: 245 = 6·40 + 5 = 8·30 + 5 = 10·24 + 5.
Örnek 2. 4'e bölündüğünde 2, 6'ya bölündüğünde 4, 9'a bölündüğünde 7 kalanını veren en küçük üç basamaklı doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
Çözüm. Bölen − kalan farkları 4 − 2 = 2, 6 − 4 = 2, 9 − 7 = 2 olarak sabittir. Bu yüzden sayının 2 fazlası 4'ün, 6'nın ve 9'un ortak katıdır: A + 2 = 36n, yani A = 36n − 2. n = 2 için 70 iki basamaklıdır; n = 3 için A = 106 bulunur ve bu en küçük üç basamaklı değerdir. Rakamları toplamı 1 + 0 + 6 = 7'dir. Kontrol: 106'nın 4'e, 6'ya ve 9'a bölümünden kalanlar 2, 4 ve 7'dir.
Sık yapılan hatalar
- Kalanlar eşit değilken A − k kalıbını uygulamak; önce bölen ile kalan arasındaki farkları kontrol et.
- Kalan bölenden m eksikken A + m yerine A − m yazmak.
- Bölenlerin çarpımını EKOK sanmak: 4, 6 ve 9 için ortak kat 216 değil 36'dır.
- Kalanlar hep k ise A = EKOK·n + k.
- Kalan bölenden hep m eksikse A = EKOK·n − m.
- Aralıktaki değerleri saymak için n'nin alabileceği en küçük ve en büyük değeri bul.