Konu anlatımı
İki sayının EBOB'u ile EKOK'u birbirinden bağımsız değildir. Bu alt başlıkta aralarındaki temel eşitliği, bu eşitliğin nedenini ve “EBOB'u ve EKOK'u verilen sayıları bul” türündeki soruları sistemli çözmeyi öğreneceksin.
Temel eşitlik
a ve b pozitif tam sayıları için EBOB(a, b)·EKOK(a, b) = a·b'dir. Nedenini asal çarpanlarla görürsün: her asal için EBOB küçük üssü, EKOK büyük üssü alır; bu iki üssün toplamı, a ile b'deki üslerin toplamına eşittir. Örneğin 12 = 2²·3 ve 18 = 2·3² için EBOB = 6, EKOK = 36 ve 6·36 = 216 = 12·18'dir.
Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı genellikle sayıların çarpımına eşit değildir: 2, 4, 8 için EBOB = 2, EKOK = 8 ve 2·8 = 16 iken 2·4·8 = 64'tür.
a = d·x, b = d·y gösterimi
EBOB(a, b) = d ise a ve b, d'nin katlarıdır: a = d·x, b = d·y. Bölümler olan x ile y aralarında asal olmak zorundadır; ortak bir çarpanları olsaydı EBOB d'den büyük olurdu. Bu gösterimle EKOK(a, b) = d·x·y olur.
Soru EBOB ile EKOK'u veriyorsa x·y = EKOK ÷ EBOB bulunur. Sonra çarpımı bu sayıya eşit olan aralarında asal (x, y) çiftleri listelenir; her çift bir (a, b) ikilisi verir. EKOK, EBOB'un katı değilse böyle sayılar yoktur.
Toplam ve fark koşulları
Soruda a + b ya da a − b de veriliyorsa d·(x + y) ya da d·(x − y) yazılır; x + y'nin değeri bulununca aralarında asal olma koşulunu sağlayan çiftler seçilir. Örneğin EBOB 9 ve a + b = 72 ise x + y = 8'dir. Aralarında asal çiftler (1, 7) ve (3, 5) olduğundan (a, b) = (9, 63) ya da (27, 45) olur. (2, 6) ve (4, 4) çiftleri aralarında asal olmadığı için elenir; bu çiftler EBOB'u 18 ve 36 yapardı.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. İki pozitif tam sayının çarpımı 864, EKOK'u 144'tür. Bu sayıların EBOB'u kaçtır ve sayılar hangileri olabilir?
Çözüm. EBOB·EKOK = çarpım olduğundan EBOB = 864 ÷ 144 = 6'dır. Sayılar 6x ve 6y biçimindedir; x·y = 144 ÷ 6 = 24 ve x ile y aralarında asaldır. Çarpımı 24 olan çiftlerden (1, 24) ve (3, 8) aralarında asaldır; (2, 12) ve (4, 6) elenir. Sayılar 6 ile 144 ya da 18 ile 48 olabilir. Kontrol: EBOB(18, 48) = 6 ve EKOK(18, 48) = 144.
Örnek 2. EBOB'u 12, EKOK'u 360 ve toplamı 132 olan iki pozitif tam sayı hangileridir?
Çözüm. Sayılar 12x ve 12y biçimindedir; x·y = 360 ÷ 12 = 30 ve x + y = 132 ÷ 12 = 11'dir. Çarpımı 30, toplamı 11 olan çift (5, 6)'dır ve 5 ile 6 aralarında asaldır. Sayılar 12·5 = 60 ve 12·6 = 72'dir. Kontrol: EBOB(60, 72) = 12, EKOK(60, 72) = 360.
Sık yapılan hatalar
- EBOB·EKOK = çarpım eşitliğini üç ya da daha fazla sayıya uygulamak.
- x·y çarpımını bulduktan sonra aralarında asal olmayan (2, 12) gibi çiftleri de saymak.
- EKOK'un EBOB'un katı olması gerektiğini kontrol etmemek.
- İki sayı için EBOB·EKOK = a·b.
- EBOB = d ise a = d·x, b = d·y; x ile y aralarında asal ve EKOK = d·x·y.
- x·y = EKOK ÷ EBOB; çiftleri listelerken aralarında asal olma koşulunu kontrol et.