Konu anlatımı
EBOB problemlerinde ortak tema, bir ya da birkaç bütünü artık kalmadan, eşit ve olabildiğince büyük parçalara ayırmaktır. Parça ne kadar büyük olursa parça sayısı o kadar az olur; bu yüzden “en az kaç parça” sorusu da EBOB ile çözülür.
Eşit parçalara bölme
Uzunlukları 48 m, 72 m ve 120 m olan üç kumaş, hiç artmayacak biçimde eşit uzunlukta parçalara kesilecekse parça uzunluğu üç sayının ortak böleni olmalıdır. En büyük parça uzunluğu EBOB(48, 72, 120) = 24 m'dir ve parça sayısı 48/24 + 72/24 + 120/24 = 2 + 3 + 5 = 10 olur. Parça uzunluğu küçüldükçe parça sayısı artar; en az parça için en büyük uzunluk, yani EBOB seçilir.
Aynı mantık farklı türden nesneleri eşit gruplara ayırırken de geçerlidir: 36 elma ve 60 armut, her grupta aynı sayıda elma ve aynı sayıda armut olacak biçimde en çok EBOB(36, 60) = 12 gruba ayrılır; her grupta 3 elma ve 5 armut bulunur.
Kare fayansla döşeme
Kenarları a ve b olan dikdörtgen bir alan, kesilmeden ve boşluk kalmadan eş karelerle döşenecekse karenin kenarı hem a'yı hem b'yi bölmelidir. En büyük kare kenarı EBOB(a, b), gereken kare sayısı (a/EBOB)·(b/EBOB) olur. Kare küçüldükçe gereken fayans sayısı artar.
Eşit aralıklı ağaç dikme
Kenarları 60 m ve 84 m olan dikdörtgen bir arsanın çevresine, köşelere de birer ağaç gelecek biçimde eşit aralıklarla ağaç dikilecekse aralık her iki kenarı da bölmelidir. En az ağaç için en büyük aralık EBOB(60, 84) = 12 m seçilir. Kapalı bir çevrede ağaç sayısı aralık sayısına eşittir: çevre 2·(60 + 84) = 288 m olduğundan 288/12 = 24 ağaç gerekir.
Açık bir doğru boyunca iki uca da ağaç dikilirse ağaç sayısı aralık sayısından 1 fazladır. Bu farkı karıştırmamak için kapalı çevre ile açık hattı ayırt et.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Kenar uzunlukları 90 m, 150 m ve 210 m olan üçgen biçimindeki bir parkın kenarlarına, köşelerde de birer fidan olacak biçimde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az kaç fidan gerekir?
Çözüm. Aralık üç kenarı da bölmelidir; en az fidan için en büyük aralık EBOB(90, 150, 210)'dur. 90 = 2·3²·5, 150 = 2·3·5², 210 = 2·3·5·7 olduğundan EBOB = 2·3·5 = 30 m'dir. Parkın çevresi 90 + 150 + 210 = 450 m'dir. Kapalı bir çevrede fidan sayısı aralık sayısına eşit olduğu için 450 ÷ 30 = 15 fidan gerekir.
Örnek 2. Bir manav 120 kg elma, 150 kg armut ve 180 kg ayvayı hiç karıştırmadan, her kasada aynı miktarda meyve olacak biçimde kasalara dolduracaktır. En az kaç kasa gerekir?
Çözüm. Kasadaki miktar üç sayıyı da bölmelidir; en az kasa için bu miktar en büyük, yani EBOB(120, 150, 180) = 30 kg olmalıdır. Elma 120 ÷ 30 = 4, armut 150 ÷ 30 = 5, ayva 180 ÷ 30 = 6 kasaya konur. Toplam 4 + 5 + 6 = 15 kasa gerekir.
Sık yapılan hatalar
- Kapalı çevrede ağaç sayısını aralık sayısından 1 fazla almak; kapalı çevrede ikisi eşittir.
- En az parça sorusunda EKOK kullanmak; en az parça, en büyük ortak parça boyuyla, yani EBOB ile elde edilir.
- Parça sayısını sormuşken yalnızca EBOB'u söyleyip toplam miktarı EBOB'a bölmeyi unutmak.
- Eşit ve en büyük parça EBOB'dur; en az parça sayısı = toplam ÷ EBOB.
- En büyük kare fayans kenarı EBOB(a, b), fayans sayısı (a/EBOB)·(b/EBOB).
- Kapalı çevrede ağaç sayısı aralık sayısına eşittir; açık hatta iki uç dahil ağaç sayısı aralık sayısından 1 fazladır.